Tillsammans med ekvationerna för bevarande av massa och momentum, som användes ovan för att härleda ekvationerna för kontinuitet och rörelse, används energiekvationen också för att beskriva ett kontinuerligt medium. Låt oss betrakta energiekvationen för det speciella fallet av en adiabatisk process, när det inte finns något värmeutbyte mellan element i ett kontinuerligt medium. I det här fallet ändringen inre energi E element i ett kontinuerligt medium med massa (vätskepartikel) är endast associerat med en förändring i dess volym (i frånvaro av volymetriska värmekällor): 
. Att införa energi per massaenhet materia i beaktande får vi
Eftersom den 
, Den där
.
I enlighet med kontinuitetsekvationen 
, Det är därför
.
Denna ekvation beskriver fördelningen bulkdensitet intern energi och dess förändring orsakad av deformation och rörelse av mediet. Samtidigt kan processer förknippade med frigöring eller absorption av energi, till exempel under uppvärmning, leda till förändringar i intern energi elchock eller under kemiska reaktioner. För att ta hänsyn till dessa fenomen, modifierar vi den sista ekvationen genom att lägga till en term med dimensionen W/m 3 på dess högra sida, som beskriver hastigheten för frigöring eller absorption, beroende på tecknet, av energi vid punkter i det kontinuerliga mediet .
Således har det kompletta ekvationssystemet för dynamiken hos en ideal vätska (gas) i den adiabatiska regimen formen
| (58) |
Den sista likheten är en tillståndsekvation som stänger systemet och bestämmer specifika fysikaliska egenskaper miljö. Här är exempel på tillståndsekvationen:
1. Idealisk gas: , där är Boltzmanns konstant, n- koncentration av partiklar i gasen, M- partikelmassa.
2. Inkompressibel vätska: 
3. Vatten vid höga tryck, där , - tryck och densitet under normala förhållanden.
Det sista exemplet visar att för att öka vattentätheten med 20 % krävs övertryck. Återgå till energiekvationen, vi får
,
där istället produkten av partikelkoncentration och partikelmassa tas. Gaspartiklar har i allmänhet s grader av frihet. För varje frihetsgrad i termodynamisk jämvikt finns energi 
. Sedan, efter att ha ersatt uttrycket för den inre energin av en enhetsmassa av en idealgas 
in i energiekvationen vi får
,
, 
,
var och är konstanter. Den sista jämlikheten kan ges formen 
, var är den adiabatiska exponenten. Konstanten kan bestämmas från de initiala förhållandena 
. Som ett resultat kommer den adiabatiska ekvationen att ta formen
Energibalansekvationen i integralform kan erhållas från termodynamikens första lag och har formen
där den första termen inom parentes är den kinetiska energin för vätskans rörelse, den andra är den potentiella positionsenergin, den tredje är vätskans entalpi, J/kg;
E P - total energi i kontrollvolym, J;
q– värmeflöde genom kontrollytan, W;
l s– kraft att övervinna yttre krafter, främst friktion, W;
u– Flödeshastighet, m/s;
r – mediets densitet, kg/m3;
x– vinkel mellan normal och kontrollyta;
g– gravitationsacceleration, m/s 2 ;
z– geometriskt huvud, m;
h– specifik entalpi, J/kg;
S– kontrollyta;
t – tid, s.
För kemiska processer är kinetiska och potentiella energier, såväl som förmågan att övervinna yttre krafter, försumbara jämfört med entalpi, så vi kan skriva
Denna ekvation är i huvudsak en värmebalansekvation.
För en enkel kontrollvolym som begränsas av kontrollytor vinkelräta mot vätskeflödesvektorn, ger integration av den sista ekvationen
De två första termerna i denna ekvation erhålls enligt följande. Om vi tar densitetskonstanten och cos( x)=±1, då
Sedan 
Därför att W=r ūS, då får vi 
Om hastigheten ändras något i båda sektionerna och vätskeflödet är hydrodynamiskt stationärt, kan värmebalansekvationen skrivas som följer
Om systemet är termiskt stationärt, då:
Om fasomvandlingar och kemiska reaktioner inte sker i systemet, så är det möjligt att gå från entalpier till värmekapaciteter och sedan
Låt oss betrakta ett exempel på tillämpningen av värmebalansekvationer under instabila förhållanden.
Exempel 9.1. Två tankar med en volym på 3 m 3 vardera är fyllda med vatten vid en temperatur på 25 °C. Båda har omrörare som ger nästan fullständig blandning. Vid en viss tidpunkt börjar 9000 kg/h vatten vid en temperatur av 90 °C att tillföras den första tanken. Vattnet som lämnar den första tanken rinner in i den andra. Bestäm vattentemperaturen i den andra tanken 0,5 timmar efter start av varmvattentillförsel. Tankarna bör betraktas som värmeisolerade.
 |
| Ris. 9.1. Till exempel 9.1 |
Lösning: Låt oss göra upp ett värmeflödesdiagram (Fig. 9.1) och en värmebalans för den första reservoaren. I avsaknad av värmeväxling q=0 och under förhållanden
värmebalansekvationen tar formen
där 9000(90- T 1)d t=3·1000 dT 1, eller
Efter integration från 0 till t och från 25 °C till T 1 får vi
T 1 =90-65 exp(-3t).
Låt oss sammanställa värmebalansen för den andra behållaren på ett liknande sätt
Att härleda ekvationen för förändringen i energi för vilket system som helst i sig allmän syn Låt oss betrakta ett isolerat system (IS) bestående av en arbetsvätska (WF) i en cylinder med en rörlig kolv, en värmekälla (IT) och en miljö, inklusive en arbetsmottagare PR (vikt), en kolv (P) och en flytande miljö (LSE), till exempel atmosfären (Fig. 2.1), och lagen om energibevarande (LEC) tillämpas på den:
E IS = E RT + E IT + E OS = const eller dE RT + dE IT + dE OS = 0.
Låt oss skriva om den sista ekvationen i formuläret
dE = dE RT = - dE IT - dE OS. (2.2)
Enligt ZSE (2.2) är ökningen av RT-energi lika med minskningen av IT- och OS-energier.
I praktiken beräknas de högra sidorna av ekvation (2.2) vanligtvis inte genom parametrarna för värmekällan och miljön, utan genom parametrar som kännetecknar egenskaperna hos processerna vid systemgränsen (SB).
Processerna för att överföra rörelse från IT till RT och från RT till OS, som inkluderar en arbetsmottagare, har olika funktioner. Tillförseln av rörelse från IT till RT sker som ett resultat av växelverkan mellan gasmolekyler och väggarnas molekyler utan deras makroskopiska rörelse, dvs. rörelsen tillförs i en kaotisk form (CF). Processen att tillföra rörelse i en kaotisk form brukar kallas värmeväxlingsprocessen (värmeväxling).
När gasmolekyler interagerar med en rörlig kolv uppstår en makroskopisk rörelse av kolven, det vill säga här överförs rörelsen i ordnad form (UF). Processen att överföra rörelse i en ordnad form brukar kallas processen att utföra arbete (arbete).
Figur 2.1 - Att härleda ekvationen för termodynamikens första lag från ZSE
Eftersom energi (som en fysisk kvantitet) är ett mått på rörelse som både ingår i systemet och överförs över systemets gräns, så är därför de mått på rörelse som överförs i processerna för värmeväxling (i HF) och utfört arbete ( i UV) kommer att vara de elementära energierna E preHF respektive E preUV, som vanligtvis kallas värme Q och arbete W":
Q = E preHF = - dE IT och W" = E preUF = - dE OS.
Med hänsyn till den accepterade notationen kommer PZT-ekvationen (2.2) att skrivas i formen Här, för att beteckna den elementära karaktären hos kvantiteterna värme Q och arbete W, används symbolen för elementaritet, och inte symbolen för totalen differential (helt inkrement) d, eftersom dessa storheter (i motsats till förändringen i energin i systemet dE) i allmänhet inte kan beräknas genom systemparametrar och därför måste betecknas med en annan symbol än d.
dE = dEPT = EperedHF + EperedUV = Q + W." (2.3)
Enligt denna energibalansekvation är den totala ökningen (förändringen) i systemets energi lika med summan av elementära energier som kännetecknar rörelsen som överförs över systemgränsen i processerna för värmeväxling (i HF) och arbete (i UV) ) (i det här fallet kan antalet organ som deltar i processerna för värmeväxling och färdigställande vara vad som helst).
Så, värme och arbete är rörelseenergier, som redan noterats i fotnoten på sidan 8, är en egenskap hos materia som kan överföras inte bara genom överföring av materia (kroppars rörelse) i rymden, utan också genom materia. interaktion av partiklar vid systemets gränser utan makroskopisk överföring av materia., överförs respektive i processerna för värmeväxling och arbete (i detta avseende kallas de ibland övergångsenergier, eller energier i övergångsprocessen). Fram till 1961, när International System of Units (SI) introducerades, användes kalori (från latinets kalori - värme, värme) och kilokalori som en enhet för värme, och arbete - erg och kilogram-meter. Det krävdes betydande ansträngningar från många forskare för att bevisa ekvivalensen (likheten) mellan kvantiteterna "värme" och "arbete" och att fastställa en omvandlingsfaktor för enheter av värme och arbete - den mekaniska ekvivalenten av värme - lika med 427 kgcm / kcal. Kilokalorienheten för värme används fortfarande i litteraturen, så vi kommer att ange förhållandet mellan denna enhet och kilojoule: 1 kcal = 4,1868 kJ. värme och arbete, enheten för energi som används är joule: [Q] = [W] = [E] = 1 J.
Det bör noteras att den fysiska kvantiteten värme används inte bara för att kvantitativt karakterisera den rörelse som överförs under värmeväxlingsprocessen, utan också för att uppskatta mängden avledd (det vill säga omvandlas till kaotisk rörelse) ordnad makroskopisk rörelse, vilket beror på behovet av att ta hänsyn till tillväxten av entropi i sådana processer. Följaktligen, under avledning av ordnad rörelse, bestäms avledningsvärmen på samma sätt som arbete - genom makroskopiska krafter och förskjutningar (till exempel friktionsarbete)
Att välja ett tecken på värme och arbete. Tecknet på värme och arbete beror på rörelseriktningen för överföring - till systemet eller från systemet (RT). I enlighet med energibalansekvationen (2.3) måste tecknet för värme och arbete sammanfalla med tecknet på förändringen i systemets energi: när rörelse tillförs systemet är förändringen i systemets energi positiv , därför måste den tillförda värmen och arbetet vara positiva värden, och när rörelsen tas bort - negativa värden .
För värme gäller denna regel alltid: den tillförda värmen är positiv, den borttagna värmen är negativ. När det gäller verkets tecken, har dess tecken historiskt sett inte bestämts utifrån balansförhållandet (2.3), som inte fanns då, utan utifrån överväganden om att det arbete som han får från motorn, det vill säga det borttagna verket, är positivt för verkets tecken. en person.
Verket W", vars tecken bestäms från balansrelationen (2.3) - enligt tecknet för ökningen av systemets energi, kommer att kallas externt för tecken. Här begreppen extern W" och intern W arbete bildas i enlighet med tillförselriktningen av rörelse, d.v.s. enligt tecknet (W = - W"). Om tecknet för arbetet motsvarade tecknet för förändringen i energi i förhållande (4.3), som för värme , då skulle det inte finnas något behov av att införa uppdelningen i yttre och inre enligt verkets tecken I G. Baers lärobok finns alltså ingen uppdelning av arbetet i yttre och inre inre - allt arbete är externt: det tillförda arbetet. till systemet anses positivt, och det borttagna arbetet anses vara negativt (externt, eftersom det åstadkommes på grund av förlusten av extern energi - energin från arbetskällorna).
Arbetet W, vars tecken sammanfaller med tecknet på minskningen av systemets energi, kommer att kallas arbete internt i tecken (internt, eftersom det utförs på grund av minskningen av sin egen, inre energi).
Det finns ett uppenbart samband mellan internt och externt arbete med tecken:
PZT-ekvationen (2.3) för arbete internt i tecken kommer att skrivas i formuläret
Ekvation (2.7) är ett analytiskt uttryck för PZT för ett slutet termodynamiskt system (utan utbyte av materia med OS) i dess mest allmänna form och lyder som följer: värme går till att förändra systemets energi och för att utföra arbete. Denna ekvation erhölls först av R. Clausius 1850.
Externt och internt (på beräkningsplatsen) arbete och värme Oftast definieras begreppet externt och internt arbete i enlighet med platsen för beräkning av arbetet, d.v.s. beroende på valet av systemgränser - extern och intern. Systemets inre gräns omfattar endast en arbetsvätska och sammanfaller med de inre ytorna på kolven, locket och cylinderfodret (streckad linje i fig. 2.1). Systemets yttre gräns inkluderar ett ytterligare tunt lager av ett materialskal som täcker arbetsvätskan (streckad linje i fig. 2.1).
Ett tunt skalskikt med en tjocklek som motsvarar väggmolekylernas diameter har en liten reserv av RE och därför kan dess inverkan på förändringar i systemets RE försummas. Det tunna lagrets roll är att omvandla kolvens ordnade rörelse till den kaotiska (termiska) rörelsen av molekylerna i detta lager. Som ett resultat av denna transformation resulterar det externa (effektiva) arbete som avlägsnas från systemet av arbetsvätskan - ett tunt skalskikt (vid den yttre gränsen) resulterar i mindre internt (indikativt) arbete som utförs av arbetsvätskan på den inre gränsen av systemet, för friktionsarbetet för kolven på cylinderfodret (se fig. 2.1)
Den ordnade rörelsen av kolven, som försvinner i den kaotiska rörelsen av tunna lager av kolven och väggen, som ett resultat av värmeväxling, överförs vidare till arbetsvätskan och in i miljö. Om väggarna är adiabatiska (till exempel keramiska) eller värme tillförs från utsidan av cylindern (externa förbränningsmotorer), så återgår all avledd rörelse (kännetecknad av friktionsarbetet W tr) till RT i form av kaotisk rörelse (kännetecknas av friktionsvärme Q tr).
Värme som tillförs vid systemets yttre gräns från värmekällor (eller en spole placerad inuti gasen eller inuti skalmaterialet) eller som ett resultat av förbränning av bränsle inuti arbetsvätskan kallas extern värme
När bränsle brinner inuti arbetsvätskan är den yttre värmen mindre än den förbränningsvärme som frigörs på grund av värmeförlust i cylinderväggarna
Q e = Q förbränning - Q väggsvett. (2,10)
Som ett resultat av tillförseln av friktionsvärme får arbetsvätskan total värme vid den inre gränsen, lika med summan av extern värme och friktionsvärme
I enlighet med ovanstående kommer PZT-ekvationen (2.7) för systemets yttre gräns (för RT plus skal) att skrivas i formen
och för systemets inre gräns (för en RT) i formuläret
Om vi introducerar begreppet effektivt arbete externt i tecken (positivt när arbete utförs på systemet), så kan PZT-ekvationen (2.12) skrivas i formen
Vart och ett av dessa effektiva verk kan representeras som summan av olika arbeten som utförs vid systemgränsen,
där N är antalet olika jobb.
Lagen om energihushållning. Energi balans. Energi, arbete, värme. Intern energi, potentiell energi, kinetisk energi.
Bernoullis ekvation för gas. Entalpi ekvation. Adiabatiskt flöde. Energiisolerat flöde. Isoentropiskt flöde.
Energiisolerat isentropiskt flöde.
Studerar grundläggande ekvationer och beroenden , Använd i gasdynamik , är det bekvämt att utföra först för elementär sippra eller endimensionellt flöde, och sedan utöka dem till mer komplexa typer av rörelser.
Av stor betydelse i gasdynamik är lagen om energihushållning . Som bekant konstaterar han det faktum att
energi varken uppträder eller försvinner, utan omvandlas bara från en typ till en annan.
Därför har man sammanställt en energibalans för en viss mängd gas, till exempel för massenheter, kan man hitta sambandet mellan energins olika komponenter. Sådan matematisk notation av energibalans och representerar energiekvationen .
Kompilering Energi balans Låt oss titta på ett exempel gasturbinenhet , vars diagram visas i Bild 6.
Genom ingången sektion 1 luft från atmosfären kommer in i kompressorn, där den komprimeras och tillförs förbränningskammaren. Där, i förbränningskammaren, kommer flytande bränsle in som, blandat med luft, brinner och släpper ut Ett stort antal värme . Således kommer förbränningsprodukterna som bildas där in i turbinen från förbränningskammaren med hög temperatur Och högt tryck. I turbinen expanderar de och producerar arbete - rotera rotorn. En del av turbinens arbete överförs till rotationen av kompressorn med hjälp av axeln, den andra delen ges till konsumenten. Avgaserna lämnar turbinen och strömmar ut sektion 2.
Energi inkommande luft, per massaenhet , utsedd E 1, energi avgaser - E 2.
Värmetillförsel utsedda Q e. Index " e" betyder att värme tillfördes från utsidan (externus – lat. extern , utomstående).
Det finns ingen motsägelse här: trots att förbränningen skedde inne i kammaren och värmen som värmde gasen frigjordes där, infördes denna energi från utsidan i dold form, tillsammans med bränslet. Följaktligen, eftersom uppgiften att studera de fysikalisk-kemiska processerna för förbränning inte är fastställd, utan endast fenomen av gasdynamisk natur beaktas, kan vi anta att värme i kvantitet Q e fördes in i förbränningskammaren från utsidan.
Jobbpå installationsaxeln, som ges till konsumenten, anges L. Hon med hänvisade till en massaenhet luft som passerar genom installationen.
På Bild 7 avbildad förenklat flödesschema. På bosättningsområde mellan tvärsnitt 1 Och 2 samma som i föregående fall, värme tillförs Och är given mekaniskt arbete . Därför, för förenklat diagram Energi balans kommer att vara samma som för gasturbinenhet, men att använda detta schema är enklare och bekvämare.
Energi balans för det aktuella flödesmönstret kan skrivas med följande ekvation:
E 1 - E2 + Q e - L = 0. (2.1)
Därefter måste du dechiffrera vad som menas med den totala energireserven för en massaenhet av gas E. Man bör dock komma ihåg att i "full energi" det finns inget behov av att inkludera alla dess komponenter (till exempel kemiska, elektriska, intranukleära); det är fullt tillräckligt att bara ta hänsyn till de typer av det som kan omvandla varandra till varandra inom gränserna för de gasdynamiska problem som studeras. Då kan vi skriva det
E= u + p/ρ + w 2 /2 + gz, (2.2)
Var u – inre energi gasmassenheter;
p/ρ– potentiell energi tryck gasmassenheter;
w 2/2– rörelseenergi gasmassenheter;
gz – potentiell energi bestämmelser (nivå) enhetsmassa av gas;
z– geometrisk höjd;
g – acceleration allvar .
Alla angivna kvantiteter är uppmätta i arbetsenheter per massaenhet, nämligen i J/kg eller, vad är detsamma, i m 2 /sek 2(i SI-system).
Ersätt värdena i ekvation (2.1). E 1 Och E 2, uttryckt med hjälp av ekvation (2.2), och med hänsyn till att skillnaden i inre energier u 1 – u 2 = C v (T 1 - T 2), vi får
Cv (Ti-T2) +pi/pi1-p2/ρ2+(w12-w22)/2+g(z1-z2) +Qe-L= 0. (2.3)
Det är vad det är energiekvationen för ett endimensionellt flöde eller för ett elementärt trickle. Det visar vad som händer förändra intern energi C v (T 1 -T 2), potentiell tryckenergi p 1 /ρ 1 -p 2 /ρ 2, rörelseenergi(w 1 2 - w 2 2)/2, potentiell energi i position g(z 1 -z 2) som ett resultat av verkan av värme som tillförs utifrån Q e Och arbete L, levereras med gas till externa konsumenter . Förändra inre energi förknippas med förändring temperatur gas, rörelseenergi- med förändring fart flöde, potentiell energinivå- med förändring höjdposition massan av gas i fråga ovanför planet tagen som ursprung. När det gäller förändringen tryck potentiell energi, då kräver det särskild förklaring.
På Figur 8 visar det beräknade flödesavsnittet begränsat vid inloppet tvärsnitt 1 och vid utgången - sektion 2.
Vid ingången gas genom sektionen 1 styrka yttre tryck p 1 F 1, tryckande till bosättningsområdet gasvolym F 1 Δx 1, göra arbete p1FiAx1.
Vid utgång från designområdet, genom sektionen 2 volym gas F 2 Δx 2 fungerar mot yttre tryckkrafter p 2 F 2 Δх 2. Dela dessa verk med massan av gas i motsvarande volymer får vi
L W = p 1 F 1 Δx 1 / ρ 1 F 1 Δx 1 = p 1 / ρ 1 ,
L ut = p 2 F 2 Δx 2 / ρ 2 F 2 Δx 2 = p 2 / ρ 2.
Därav, p1/p1-p2/p2 =L in -L ut representerar skillnaden mellan skjutande och skjutande arbete massenheter av gas. Detta värde kännetecknar ackumulation (Om p1/ρ1 >p2/ρ2) potentiell energi tryck eller utgifter henne (om p 1/ρ 1
) gasflöde placerat inom det beräknade området.
Förändring i nivå potentiell energi g(z1-z2) i problem relaterade till beräkningen av termiska kraftmaskiner eller installationer, är som regel ett försumbart värde jämfört med andra termer i energiekvationen. Det överstiger vanligtvis inte 50…100 m 2 /sek 2, medan de andra termerna har ordningen 10 000…100 000 m 2 /sek 2. Därför, i alla vidare resonemang och beräkningar, värdet g(z1-z2) kommer att kasseras. Det är dock nödvändigt att uppmärksamma problem av detta slag, såsom beräkningen av gruvventilationssystem, där förändringen i nivåns potentiella energi är mycket stor och kan överstiga värdena för andra termer av energin ekvation. I dessa fall värdet g(z1-z2) måste beaktas.
Energiekvationen kan ges en annan, i många fall en mer bekväm form för beräkningar. Låt oss omvandla summan av termer
Cv (Ti-T2) +pi/pi1-p2/ρ2 = (CvT1+pi/pi1) -(CvT2+p2/ρ2)=
=(C v T 1 + RT 1) -(C v T 2 + RT 2)= (C v +R) (T 1 -T 2) = C p (T 1 -T 2) ,
använder sig av förhållandet C p –C v =R känt från termodynamiken, och ersätt det resulterande uttrycket i ekvation (2.3). Då kan energiekvationen skrivas mer kompakt
Cp (Ti-T2) + (w 1 2 - w 2 2)/2 + Q e - L = 0, (2.4)
och viktigast av allt, tre termodynamiska parametrar p, ρ Och T nu kan du bara byta ut ett – entalpi h=C pT. ("Tre i ett"!)
(2.5)
Den här sorten energiekvationeräven kallad entalpi-ekvationen eller värmeinnehåll, eftersom det inkluderar entalpi h.
Följande teckenregel används i energiekvationen. Tillförd extern värme anses vara positiv, och extern värme som avlägsnas anses vara negativ; det arbete som utförs av gasen och överförs till en extern konsument är positivt, och det arbete som tillförs gasen från utsidan och som spenderas på dess kompression är negativt. Alltså i värmare gas (förbränningskammare) värma räknas positiv , V kylare - negativ ; Jobb , erhållen i turbin, - positiv och spenderas på rotation kompressor - negativ . Denna teckenregel överensstämmer med ekvationen termodynamikens första lag.
Energiekvationen ofta använd V differentiell form . För att få det i denna form kommer vi att använda den här tekniken. Vi kommer mentalt att föra den andra sektionen närmare den första, och minska längden på den beräknade sektionen till oändligt liten. Sedan i gränsen vi får istället Q e Och L respektive dQ e Och dL, istället för ändliga skillnader T 1 – T 2 Och (w 1 2 - w 2 2)/2 vi får motsvarande skillnader – dT Och – d(w 2/2).
I de två sista uttrycken minustecken dök upp eftersom oändliga skillnader tas T 1 - T 2 Och (w 1 2 - w 2 2)/2, men inte T 2 - T 1 Och (w 2 2 - w 1 2)/2.
Ersätter detta i energiekvationen (2.4) och vända på skyltarna , vi får energiekvation i differentialform eller differentialenergiekvation
(2.6)
Om vi jämför uttrycket för den totala energireserven (2.2)
E= u + p/ρ + w 2 /2 + gz,
med vänster sida Bernoullis ekvationer, som också representerar kvantiteten full energireserv massenheter inkompressibel vätska
p/ρ + w 2 /2 + gz = const,
då kan det noteras att i fallet med en gas introduceras dessutom det interna energivärdet u. Detta förklaras av att när ρ≠konst termiska processer påverkar gasens densitet, och eftersom dess expansion eller kompression är förknippad med arbete, sträcker sig denna påverkan i slutändan till de mekaniska komponenterna av energi. Således, i energiekvationer(2.4) och (2.5) det finns mängder som har båda mekanisk, alltså termisk(kaloriskt) ursprung.
En till en slags energiekvationär generaliserad Bernoulli-ekvation för gas . Det skiljer sig från ekvationerna (2.4) eller (2.5) genom att alla element som ingår i det villkoren har mekanisk ursprung. Denna ekvation kan erhållas på följande sätt. Låt oss använda samma teknik som differentialenergiekvationen (2.6) erhölls ovan och representera ekvationen (2.3) i differentiell form:
(2.7)
Mängden värme Q, gasformig och mängden värme Q e, levereras till honom från utsidan, i allmänhet inte det samma : finns fortfarande friktionsvärmeQ r, som frigörs på grund av gasfriktion mot väggarna, inre friktion (uppstår mellan skikt som rör sig med olika hastigheter), bildning av virvlar etc. Denna värme absorberas också av gasen. Det är därför
Q = Q e + Q r = Q e + L r. (2.8)
dQ e = dQ – dL r, (2.9)
Var L r -friktionsarbete (i SI-enheter Qr =Lr).
Mängden värme som absorberas av gasen, kan bestämmas med hjälp av ekvationen termodynamikens första lag
dQ = C v dT + pdv. (2.10)
Genom att ersätta detta uttryck med formel (2.9) får vi
C v dT = dQ e + dL r -pdv. (2.11)
Förutom,
d(p/ρ)=d(pv)=pdv+vdp/. (2.12)
Efter att ha ersatt formlerna (2.11) och (2.12) i energiekvationen (2.7) och ersatt den specifika volymen genom densitet v=1/ρ vi får Bernoullis ekvation för gas i differentiell form
dp/p+d(w2/2)+dL+dLr=0. (2.13)
När man löser specifika problem integreras Bernoullis ekvation inom intervallet från den första delen av beräkningsdelen till den sista
(2.14)
Om det under lösningsprocessen är nödvändigt att erhålla flödesparametrarna i någon mellanliggande sektion av beräkningssektionen, tas denna sektion under integrationen som den sista sektionen. När man löser kan man ta den obestämda integralen. Integrationskonstanten bestäms sedan från randvillkoren, som vanligtvis tas som villkoren vid ingången till beräkningssektionen.
För att beräkna ∫(dp/ρ), måste du känna till förhållandet mellan R Och ρ , dvs. har en ekvation för den termodynamiska process i vilken gas strömmar, till exempel den polytropiska ekvationen p/ρ n =konst. Om den termodynamiska processen är känd, är det polytropiska indexet också känt. På polytropisk processintegration ger
på isotermisk bearbeta ( n=1)
1 2 ∫(dp/ρ)=(pi/ρ 1)ℓn(p 2/p 1)=RT 1 n(p 2/p 1). (2.16)
Jämföra med varandra energiekvationen Och Bernoullis ekvation, till exempel (2.4) och (2.14), kan man märka att den första tar hänsyn till extern värme, men inte innehåller friktionsarbete explicit, medan den andra inte explicit innehåller extern värme, utan tar hänsyn till friktionsarbete. Därför verkar det som om dessa ekvationer inte tar hänsyn till alla funktioner i flödet. I verkligheten är detta inte fallet. Även om friktionsarbetet inte uttryckligen ingår i energiekvationen, påverkar dess påverkan först och främst temperaturen T 2.
När det gäller Bernoulli-ekvationen tar den hänsyn till extern värme vid beräkningen ∫(dp/ρ), nämligen mängden beror på mängden tillförd värme polytropiskt index n.
Låt oss överväga energiekvationer För speciella fall av gasflöde .
adiabatisk ( eller adiabatisk) nuvarande . Detta flöde uppstår utan extern värmetillförsel eller borttagning , dvs. Qe=0. Angående den interna värmeförsörjningen (friktionsvärme Q r) inga reservationer görs, d.v.s. den är antingen närvarande eller lika med noll. Energiekvationen i det här fallet ser det ut så här:
(2.17)
A Bernoullis ekvation behåller formen (2.14)
12 ∫(dp/ρ)+(w22 - w12)/2 + L+Lr=0.
Ekvation (2.17) är av stor betydelse i experimentell praktik. Den används till exempel vid experimentell bestämning av driften av en turbin eller kompressor, när direkt bestämning av effekt från vridmoment och varvtal är svårt av tekniska skäl. För att göra detta behöver du bara mäta temperaturerna och gashastigheterna vid ingången till och utgången från maskinen och göra beräkningen med formeln (2.17). Observera att situationen i praktiken är ännu enklare. Är mätt inte gastemperatur och hastighet separat, men stagnationstemperatur.
Energiisolerat flöde. Detta flöde uppstår utan extern värmeväxling (Qe=0) Och utan in- eller utmatning av externt mekaniskt arbete (L=0), dvs. utan energiutbyte med den yttre miljön i området mellan inlopps- och utloppssektionerna. Energiekvationen för ett energiisolerat flöde skrivs det så här:
(2.18)
CpTi + w12/2 = CpT2 + w22/2. (2.19)
Innebörden av den sista jämlikheten är att i ett energiisolerat flöde förblir den totala energireserven för en enhetsmassa av gas oförändrad, eftersom energin i det beräknade avsnittet inte tillförs utifrån och inte släpps ut i den yttre miljön.
Bernoullis ekvation för denna typ av flöde tar formen:
12 ∫(dp/ρ)+(w22 - w12)/2 + Lr=0. (2.20)
Den energiisolerade flödesmodellen används vid beräkning av don, okylda munstycken och andra fasta kanaler där värmeväxlingen med den yttre miljön är försumbar.
Isoentropisk (eller isentropisk eller isentropisk) flöde . Detta flöde uppstår vid konstant entropi S=konst. För att entropin ska förbli konstant är det nödvändigt att uppfylla villkoret Q=0. Av formel (2.8) följer att det kan vara när Qe=0,Qr=0 eller när Q e = – Q r . Det andra fallet ger värmeöverföring till den yttre miljön, exakt lika med värmeöverföringen från friktion. En sådan exakt värmebalans kan sällan påträffas i praktiken och beaktas därför inte här. Således kan vi anta att flödet kommer att vara isentropiskt om det finns ingen friktion och extern värmeväxling . För denna typ av flöde energiekvationen skrivet på samma sätt som för adiabatiskt flöde (se formel (2.17))
Cp (Ti-T2)+ (w 1 2 - w 2 2)/2 - L = 0,
A Bernoullis ekvation har formen:
12 ∫(dp/ρ)+(w22 - w12)/2 + L=0. (2.21)
När du beräknar integralen här måste du ha det i åtanke R Och ρ ansluten isentropisk ekvation p/ρ k =konst. Den isentropiska flödesmodellen används i teoretiska beräkningar och forskning idealisk kompressorer och turbiner.
Energiisolerat isentropiskt flöde. Detta flöde uppstår utan energiomsättning med den yttre miljön ( Qе=0, L=0) Och friktionsfri (Lr=Qr=0). I detta fall är villkoren automatiskt uppfyllda isentropicitet (isentropisk) bearbeta. Energiekvationen har samma form som för energiisolerat flöde (2.18) eller (2.19)
Cp (Ti-T2)+ (w 1 2 - w 2 2)/2 = 0,
C p T 1 + w 1 2/2 = C p T 2 + w 2 2/2,
A Bernoullis ekvation är skrivet så här:
1 2 ∫(dp/ρ)+(w22 - w12)/2 =0. (2.22)
Även här, vid beräkning av integralen, upprättas sambandet mellan tryck och densitet isentropisk ekvation. Detta specialfall används ganska flitigt. Till exempel i teoretisk gasdynamik De flesta problem betraktas under antagandet om exakt denna typ av flöde.
I differentialform har ekvationerna (2.18) och (2.22) följande form:
C p dT + d(w 2/2) = 0, (2.23)
dp/ρ + d(w2/2) = 0.(2.24)
Låt oss titta på ytterligare två mycket vanliga notationsformer: Bernoullis ekvationer För energiisolerat isentropiskt flöde. Integrerande ekvation (2.24) har vi
∫(dp/ρ) + w 2 /2 = konst.
Använder sig av isentropisk ekvation
p/ρ k = B = const,
och följande uppenbara samband
pk = (p/B); p = (p/B) 1/k; Bi/k = (p/pk) 1/k =pi/k/p;
låt oss hitta värdet på integralen
∫(dp/ρ) =∫(dp/(p/B) 1/ k)= B 1/ k ∫(dp/p 1/ k)= B 1/ k ∫p -1/ k dp=
= B 1/k p (1-1/k) /(1-1/k)= p 1/k ∙ p (1-1/k) ∙ k/ρ∙(k-1) =
=(k/(k-1))(p 1/k ∙ p (k-1)/k/ρ) = (k/(k-1)) p/ρ.
och om vi ersätter den med föregående ekvation får vi
(k/(k-1)) p/ρ + w2/2 = konst. (2.25)
Om vi jämför ekvation (2.25) med Bernoullis ekvation för horisontellt flöde av en idealisk inkompressibel vätska
p/ρ + w 2 /2 = konst,
då kan du märka att de skiljer sig bara i den första termen: för gas, koefficienten framför p/ρ lika k/(k-1) medan den för en inkompressibel vätska är lika med 1 . Alltså värdet k/(k-1) tar hänsyn kompressibilitetseffekt.
Om vi använder relationen som används för att bestämma ljudhastighet a 2 = kRT= kp/ρ, och transformera den första termen i ekvationen (2.25), sedan tar den senare formen:
a/(k-1) + w2/2 = konst. (2.26)
Detta anmälningsformulär Bernoullis ekvationer flitigt använt i teoretisk gasdynamik.
G p/pk =konst. p/p = RT. a= √kRT. a2 = kRT= kp/p.
E1 - E2 + Qe - L = 0. E= u + p/ρ + w2/2 + gz.
Cv (Ti-T2) +pi/pii-p2/p2+(w12-w22)/2+g(z1-z2) +Qe-L=0.
C v dT + d(p/ρ) + d(w 2/2) - dQ e + dL = 0.
Cp (Ti-T2)+ (w12 - w22)/2 + Qe - L = 0.
h 1 - h 2 + (w 1 2 - w 2 2)/2 + Q e - L = 0.
Cp dT + d(w 2/2) - dQ e + dL = 0.
dp/p+d(w2/2)+dL+dLr=0.
(k/(k-1)) p/ρ + w2/2 = konst. a/(k-1) + w2/2 = konst.
p/ρ + w2/2 = konst.
En energibalans kan upprättas för vilket flödesmönster som helst. Exemplet med en gasturbinenhet togs eftersom den innehåller alla komponenter i energibalansen som beaktas i gasdynamiska problem.
Det bör noteras att denna ekvation erhölls i våra dagar. Namnet Daniel Bernoulli gavs till det eftersom det är en generalisering av Bernoullis ekvation som är känd inom hydrodynamik till fallet med gasflöde.
Den obestämda integralen tas.
Rörelseekvationen kan användas för att beskriva omvandlingen av energiformer av en vätska som strömmar på en given plats.
där t är normalspänningen på grund av friktionskrafter i en viskös vätska.
Låt oss skapa en ekvation som till formen liknar ekvationen (2.49) i avsnitt
2.7, men vi introducerar en skalär kvantitet i den på grund av den lokala hastigheten med:
Denna skalära ekvation beskriver förändringshastigheten för kinetisk energi per massenhet (från 11 2) för ett fluidelement som rör sig nedströms.
Låt oss skriva om denna ekvation i en form som är mer bekväm för dess vidare studier: låt oss representera den väsentliga derivatan i symboler dldt genom att använda kontinuitetsekvationen (se avsnitt 2.5); Var och en av termerna som beskriver verkan av tryck och viskositet kommer att delas i två. Vi skriver alla termer i den resulterande ekvationen för ett stationärt volymelement genom vilket vätskan strömmar:
Den vänstra sidan av ekvationen representerar ökningshastigheten i kinetisk energi per volymenhet. Den högra sidan av ekvationen består av hastigheter: tillförseln av kinetisk energi genom massflöde; produktion av arbete genom miljötryck på elementets volym; reversibel omvandling av tryckkrafternas arbete till intern energi; produktion av arbete av viskösa krafter på elementets volym; irreversibel omvandling av arbetet med viskösa friktionskrafter till inre energi; produktion av arbete av gravitationskrafter på elementets volym.
Medlemmarnas fysiska betydelse RU co) och (r:V
Observera att termen (-f:V
Var i Och j ta efter storlek x, y, z, de där. I j = x, y, z, A 6i - 1 för / = j Och 5^ = 0 för i &j
Var Ф 0 - dissipativ funktion. Denna funktion representerar mängden värme som genereras i flödet av en viskös vätska på grund av det irreversibla arbetet av interna (viskösa) taggkrafter, och uttrycks genom hastighetsgradienten.
Så termen (g: V#) är alltid positiv, vilket betyder att det i alla vätskeflöden sker en omvandling av mekanisk energi till termisk energi och därför är verkliga processer irreversibla. I frånvaro av en medlem (r:V
Fenomen som beaktas av termen p(V
Fenomen som tas i beaktande av medlemmen (f:V
Kontinuitetsekvationer (2.38), rörelse (2.49) och tillstånd i formen R = p(p) används för att beskriva isometriska processer i en strömmande vätska. Om, med en förändring i densitet och tryck, en förändring av temperaturen inträffar (en icke-isoterm process), bör systemet av ekvationer av kontinuitet och rörelse kompletteras med en tillståndsekvation i formen F(p,p,T)= 0.
För en idealgas har tillståndsekvationen formen
Energiöverföringsekvationen är baserad på lagen om energibevarande. Låt oss betrakta ett stationärt volymelement genom vilket en homogen vätska strömmar. Låt oss skriva ner lagen om bevarande av energi för vätskan som finns inuti det valda volymelementet vid ett givet ögonblick:
I denna ekvation under rörelseenergi förstå energin i skenbar flytande rörelse (rso 1/2 per volymenhet). Under inre energi vätska förstås som summan av den inre kinetiska energin för molekylers termiska rörelse och den interna potentiella energin för interaktion mellan molekyler (en vätskas inre energi beror på dess lokala temperatur och densitet). Potentiell energi flöde ingår inte uttryckligen i denna ekvation, det ingår i termen "arbete". Låt oss skriva ett uttryck för de enskilda termerna som ingår i ekvationen
Ackumuleringshastigheten för inre och kinetiska energier hos element med volym AxAyAz (Fig. 2.4): 
Var Och - en vätskas inre energi per enhet av dess massa; med- lokal vätskehastighet.
Resulterande hastighet ankomsten av inre och kinetiska energier:
Fart energiförsörjning genom värmeledningsförmåga är lika med
Var q x, q y, q x- komponenter i värmeflödestäthetsvektorn q.
Arbete utfört av ett element av volym L V mot miljön, består av två delar: arbete mot volymetriska krafter (gravitation); arbeta mot ytkrafter (tryck och viskösa krafter).
Kom ihåg att arbete är lika med produkten av kraft och vägen i kraftens verkningsriktning, då är arbetsproduktionshastigheten lika med produkten av kraft och hastighet i kraftens verkningsriktning.
Hastighet för arbetsproduktion mot de tre komponenterna av gravitationskraften per massaenhet av elementet:
Minustecknet betyder att arbetet utfördes mot tyngdkrafterna, d.v.s. med Och g riktade i motsatta riktningar.
Arbetsproduktionshastighet mot statiskt tryck p,
appliceras på de sex ytorna av elementet AxAyAz:
På samma sätt kommer vi att hitta arbetsproduktionens hastighet mot trögflytande krafter
Låt oss ersätta de resulterande uttrycken i ekvation (2.56), och dividera alla termer i den resulterande ekvationen med AxAyAz och går till gränsen vid Ah, Ja och Az tenderar mot noll, vi får energiekvationen:
Denna ekvation kan skrivas i en mer kompakt vektor-tensorform:
På vänster sida av ekvationen är hastigheten för energiökningen per volymenhet. Den högra sidan av ekvationen består av hastigheterna för: energitillförsel per volymenhet via konvektion; tillföra energi per volymenhet genom värmeledningsförmåga; produktion av arbete på en vätska per volymenhet av gravitationskrafter; produktion av arbete på en vätska per volymenhet genom tryckkrafter; produktion av arbete på en vätska per volymenhet av viskositetskrafter.
Låt oss transformera energiekvationen genom att använda ekvationerna för kontinuitet (avsnitt 2.5) och rörelse (avsnitt 2.7). Vi kommer att utföra denna operation på samma sätt som när vi gick från formen av rörelseekvationen (2.45) till formen (2.48) med hjälp av kontinuitetsekvationen (2.38).
Låt oss differentiera den vänstra sidan av ekvationen (2.58), för att göra detta överför vi den konvektiva komponenten av energitillförselhastigheten dit och efter omarrangemang får vi:
Den första termen på vänster sida av ekvation (2.59) är betydande derivata av (och + från 1/2); den andra termen är lika med noll baserat på kontinuitetsekvationen (2.38).
Låt oss skriva om ekvationen (2.59) med hänsyn till vad som har sagts:
Observera att de två formerna av energiekvationen som erhålls här (2.47) och (2.60) motsvarar två former av kontinuitetsekvationen (2.39), (2.40) och två former av rörelseekvationen (2.47) och (2.49).
Ekvation (2.58) beskriver energiutbytet i en vätska från en stationär observatörs synvinkel, och (2.60) beskriver detta utbyte som det skulle observeras av en forskare som rör sig med flödet.
Ekvation (2.60) är bytesekvationen skriven för summan av energier per massenhet (och + med 2 / 2).
Transportekvationen för en av termerna i denna summa erhölls tidigare (2,53). Låt oss skriva om det i följande form:
Subtraherar vi ekvationen (2.61) från (2.60) får vi utbytesekvationen för intern energi Och som:
På vänster sida av ekvationen är ackumuleringshastigheten för intern energi per volymenhet. Den högra sidan av ekvationen består av hastigheter: tillförsel av intern energi genom värmeledningsförmåga per volymenhet; ökning av intern energi under reversibel kompression per volymenhet; ökning av intern energi på grund av irreversibel förlust per volymenhet.
Ekvation (2.62) kallas ekvation värmeenergi eller bara energiekvationen.
Låt oss presentera en medlem pDu! Dt i form av pC v DT/Dt(C v - specifik värmekapacitet vid konstant volym); medlem V q i form av:
Var q t = -LdT/dx, q y - -LdT/dx,q x =-LDT/dz medlem (f: Vco) enligt ekvation (2,55).
Med hänsyn till dessa tillägg kan ekvation (2.62) representeras i följande form:
Specialfall av ekvation (2.63) är av stor betydelse. Till exempel, för fallet när den termiska konduktivitetskoefficienten L beror inte på temperatur, koordinater och R - const(V 0), kommer ekvation (2.63) att ha formen:
För idealisk komprimerbar gas
För solid kropp sam- 0, alltså
Var a = A/(sidMEDv) ~ termisk diffusivitetskoefficient; Cv =S r - SMED - värmekapacitet hos ett fast ämne.
Annars
Denna ekvation kallas Fouriervärmeekvation.
För fallet då temperaturen inte ändras över tiden, har ekvation (2.64) formen:
Den sista ekvationen kallas Laplaces ekvation.
