Поряд з рівняннями збереження маси і імпульсу, які були використані вище для виведення рівнянь нерозривності і руху, при описі суцільного середовища використовується також і рівняння енергії. Рівняння енергії розглянемо для приватного випадку адіабатичного процесу, коли відсутня теплообмін між елементами суцільного середовища. У цьому випадку зміна внутрішньої енергії Е елемента суцільного середовища з масою (рідкої частинки) пов'язане тільки зі зміною його обсягу (при відсутності об'ємних джерел тепловиділення): 
. Вводячи в розгляд енергію на одиницю маси речовини, отримаємо
оскільки 
, то
.
Відповідно до рівняння нерозривності 
, тому
.
Дане рівняння описує розподіл об'ємної щільності внутрішньої енергії і його зміна, що викликається деформацією і рухом середовища. Разом з тим до зміни внутрішньої енергії можуть призводити процеси, пов'язані з виділенням або поглинанням енергії, наприклад при нагріванні електричним струмом або при хімічних реакціях. Для обліку цих явищ модифікуємо останнє рівняння додаванням в його праву частину доданка, що має розмірність Вт / м 3, що описує швидкість виділення або поглинання, в залежності від знака, енергії в точках суцільного середовища.
Таким чином, повна система рівнянь динаміки ідеальної рідини (газу) в адіабатичному режимі має вигляд
| (58) |
Остання рівність є рівняння стану, що замикає систему і визначає конкретні фізичні властивості середовища. Наведемо приклади рівняння стану:
1. Ідеальний газ:, де - постійна Больцмана, n - концентрація частинок в газі, M - маса частинки.
2. нестисливої \u200b\u200bрідини: 
3. Вода при високому тиску, де, - тиск і щільність при нормальних умовах.
Останній приклад показує, що для збільшення щільності води на 20% необхідно надлишковий тиск. Повертаючись до рівняння енергії, отримуємо
,
де замість взято твір концентрації частинок на масу частинки. Частинки газу в загальному випадку мають s ступенів свободи. На кожну ступінь свободи при термодинамічній рівновазі доводиться енергія 
. Тоді після підстановки виразу для внутрішньої енергії одиниці маси ідеального газу 
в рівняння енергії отримаємо
,
, 
,
де і - постійні. Останньому рівності можна надати вигляду 
, Де - показник адіабати. Постійну можна визначити з початкових умов 
. В результаті рівняння адіабати отримає вигляд
Рівняння балансу енергії в інтегральній формі може бути отримано з першого закону термодинаміки і має вигляд
де перший доданок в дужках - кінетична енергія руху рідини, друге - потенційна енергія положення, третє - ентальпія рідини, Дж / кг;
Е п - повна енергія в контрольному об'ємі, Дж;
q- тепловий потік через контрольну поверхню, Вт;
l s - потужність на подолання зовнішніх сил, в основному тертя, Вт;
u - швидкість потоку, м / с;
r - щільність середовища, кг / м 3;
x - кут між нормаллю і контрольної поверхнею;
g - прискорення сили тяжіння, м / с 2;
z - геометричний напір, м;
h - питома ентальпія, Дж / кг;
S - контрольна поверхню;
t - час, с.
Для хімічних процесів кінетична і потенційна енергії, а також потужність на подолання зовнішніх сил нехтує малі в порівнянні з ентальпії, тому можна записати
Це рівняння, по суті, є рівнянням теплового балансу.
Для простого контрольного обсягу, обмеженого контрольними поверхнями, перпендикулярними вектору потоку рідини, інтегрування останнього рівняння дає
Перші два доданків в цьому рівнянні отримані в такий спосіб. Якщо прийняти щільність постійної, а cos ( x) \u003d ± 1, то
тоді 
Так як W\u003d r ūS, То отримуємо 
Якщо швидкість ледь змінюються в обох перетинах, а потік рідини стационарен в гідродинамічному відношенні, то рівняння балансу тепла можна записати в такий спосіб
Якщо система стаціонарна і в тепловому відношенні, то:
Якщо в системі не відбувається фазових перетворень і хімічних реакцій, то можна від ентальпій перейти до теплоємності і тоді
Розглянемо приклад застосування рівнянь теплового балансу в нестаціонарних умовах.
Приклад 9.1. Два резервуари об'ємом по 3 м 3 кожен заповнені водою при температурі 25 ° С. Обидва мають мішалки, що забезпечують практично повне перемішування. У певний момент часу в перший резервуар починають подавати 9000 кг / год води при температурі 90 ° С. Вода, що виходить з першого резервуара, надходить у другій. Визначити температуру води у другому резервуарі через 0,5 години після початку подачі гарячої води. Резервуари вважати теплоізольовані.
 |
| Мал. 9.1. Наприклад 9.1 |
Рішення: Складемо схему теплових потоків (рис. 9.1) і тепловий баланс для першого резервуара. При відсутності теплообміну q\u003d 0 і при умовах
рівняння теплового балансу набуде вигляду
звідки 9000 (90 T 1)dt \u003d 3 · 1000 dT 1, або
Після інтегрування від 0 до t і від 25 ° С до T 1 отримаємо
T 1 \u003d 90-65exp (-3t).
Складемо аналогічним чином тепловий баланс другої ємності
Для виведення рівняння зміни енергії будь-якої системи в найзагальнішому вигляді розглянемо ізольовану систему (ІС), що складається з робочого тіла (РТ) в циліндрі з рухомим поршнем, джерела тепла (ІТ) і навколишнього середовища, що включає в себе приймач роботи ПР (гиря ), поршень (П) і рідку навколишнього середовище (ЖОС), наприклад, атмосферу (рис. 2.1), і застосувати до неї закон збереження енергії (ЗСЕ):
Е ІС \u003d Е РТ + Е ІТ + Е ОС \u003d const або d Е РТ + d Е ІТ + d Е ОС \u003d 0.
Перепишемо останнє рівняння у вигляді
d Е \u003d d Е РТ \u003d - d Е ІТ - d Е ОС. (2.2)
Згідно ЗСЕ (2.2) приріст енергії РТ одно убутку енергій ІТ і ОС.
На практиці праві частини рівняння (2.2) прийнято розраховувати не через параметри джерела тепла і навколишнього середовища, а через параметри, що характеризують особливості протікання процесів на кордоні системи (РТ).
Процеси перенесення руху від ІТ до РТ і від РТ до ОС, що включає в себе приймач роботи, мають різні особливості. Підведення руху від ІТ до РТ відбувається в результаті взаємодії молекул газу з молекулами стінок без їх макроскопічного переміщення, т. Е. Рух підводиться в хаотичної формі (ХФ). Процес підведення руху в хаотичної формі прийнято називати процесом теплообміну (теплообміном).
При взаємодії молекул газу з рухомим поршнем виникає макроскопічне переміщення поршня, т. Е. Тут рух передається в упорядкованій формі (УФ). Процес перенесення руху в упорядкованій формі прийнято називати процесом здійснення роботи (роботою).
Малюнок 2.1 - До висновку рівняння першого закону термодинаміки з ЗСЕ
Оскільки енергія (як фізична величина) є мірою руху як міститься в системі, так і переданого через кордон системи, то, отже, заходами руху, переданого в процесах теплообміну (в ХФ) і здійснення роботи (в УФ), будуть відповідно елементарні енергії Е передХФ і Е передУФ, які прийнято називати відповідно теплотою Q і роботою W ":
Q \u003d Е передХФ \u003d - d Е ІТ і W "\u003d Е передУФ \u003d - d Е ОС.
З урахуванням прийнятих позначень рівняння ПЗТ (2.2) запишеться у вигляді Тут для позначення елементарності величин теплоти Q і роботи W використаний символ елементарності, а не символ повного диференціала (повного збільшення) d, так як ці величини (на відміну від зміни енергії системи dE) в загальному випадку не можуть бути розраховані через параметри системи і, отже, повинні позначатися іншим символом, ніж d.
d Е \u003d dЕРТ \u003d ЕпередХФ + ЕпередУФ \u003d Q + W ". (2.3)
Згідно з цим балансовому рівнянню енергії повний приріст (зміна) енергії системи дорівнює сумі елементарних енергій, що характеризують рух, передане через кордон системи в процесах теплообміну (в ХФ) і здійснення роботи (в УФ) (при цьому число тіл, що беруть участь в процесах теплообміну і здійснення роботи, може бути будь-яким).
Отже, теплота і робота - це енергії руху Рух, як уже зазначалося в виносці на сторінці 8, - це властивість матерії, яке може передаватися не тільки за рахунок перенесення речовини (переміщення тіл) в просторі, але і при взаємодії частинок на кордонах системи без макроскопічного переносу речовини., переданого відповідно в процесах теплообміну і здійснення роботи (у зв'язку з цим їх іноді називають енергіями переходу, або енергіями в процесі переходу). Тому в якості одиниці До 1961 року, коли була введена Міжнародна система одиниць (СІ), в якості одиниці теплоти використовувалися калорія (від лат. Calor - тепло, жар) і кілокалорія, а роботи - ерг і кілограм-метр. Потрібні були значні зусилля багатьох вчених, щоб довести еквівалентність (схожість) величин "теплота" і "робота" і встановити перекладної коефіцієнт для одиниць теплоти і роботи - механічний еквівалент теплоти, - рівний 427 кгсм / ккал. До сих пір в літературі зустрічається одиниця теплоти кілокалорія, тому вкажемо зв'язок між цією одиницею і кілоджоулі: 1 ккал \u003d 4,1868 кДж. теплоти і роботи використовується одиниця енергії - джоуль: [Q] \u003d [W] \u003d [E] \u003d 1 Дж.
Слід зауважити, що фізична величина теплота використовується не тільки для кількісної характеристики руху, переданого в процесі теплообміну, але і для оцінки кількості диссипировать (тобто перетвореного в хаотичний рух) упорядкованого макроскопічного руху, що обумовлено необхідністю обліку зростання ентропії в таких процесах. Отже, при дисипації упорядкованого руху теплота диссипации визначається так само, як і робота - через макроскопічні сили і переміщення (наприклад, робота тертя)
Вибір знака теплоти і роботи. Знак теплоти і роботи залежить від напрямку перенесення руху - до системи або від системи (РТ). Відповідно до балансовим рівнянням енергії (2.3) знак теплоти і роботи повинен збігатися зі знаком зміни енергії системи: при підведенні руху до системи зміна енергії системи позитивно, отже, і підводиться теплота і робота повинні бути позитивними величинами, а при відведенні руху - негативними величинами .
Для теплоти це правило виконується завжди: підводиться теплота позитивна, відведена негативна. Що ж стосується знака роботи, то історично її знак визначався не з балансового співвідношення (2.3), якого тоді не було, а з міркувань, що позитивна для людини та робота, яку він отримує від двигуна, т. Е. Що відводиться робота.
Роботу W ", знак якої визначається з балансового співвідношення (2.3) - по знаку збільшення енергії системи, назвемо зовнішньої по знаку Тут поняття зовнішньої W" і внутрішньої W робіт формується відповідно до напряму підведення руху, т. Е за знаком (W \u003d - W "). Якби знак роботи відповідав знаку зміни енергії в співвідношенні (4.3), як для теплоти, то не треба було б вводити розподіл на зовнішню і внутрішню по знаку роботи. Так, в підручнику Бера Г. немає поділу робіт на зовнішні і внутрішні - там всі роботи зовнішні: підводиться до системи робота вважається позитивною, а відводиться негативною. роботою (зовнішньої, так як вона здійснюється за рахунок убутку зовнішньої енергії - енергії джерел роботи).
Роботу W, знак якої збігається зі знаком убутку енергії системи, назвемо внутрішньої по знаку роботою (внутрішньої, так як вона здійснюється за рахунок убутку власної, внутрішньої енергії).
Між внутрішньою і зовнішньою по знаку роботами існує очевидний зв'язок:
Рівняння ПЗТ (2.3) для внутрішньої по знаку роботи запишеться у вигляді
Рівняння (2.7) є аналітичним виразом ПЗТ для закритої термодинамічної системи (без обміну речовиною з ОС) в найзагальнішому вигляді і читається так: теплота йде на зміну енергії системи і на здійснення роботи. Вперше це рівняння отримав Р.Клаузиус в 1850 р
Зовнішня і внутрішня (за місцем розрахунку) робота і теплота Найчастіше поняття зовнішньої і внутрішньої роботи визначається відповідно до місця розрахунку роботи, т. Е. В залежності від вибору меж системи - зовнішньої і внутрішньої. Внутрішня межа системи включає в себе тільки одне робоче тіло і збігається з внутрішніми поверхнями поршня, кришки і гільзи циліндра (пунктирна лінія на рис. 2.1). Зовнішня межа системи включає додатково тонкий шар матеріальної оболонки, що охоплює робоче тіло (штрихпунктирна лінія на рис. 2.1).
Тонкий шар оболонки товщиною, яка відповідає діаметром молекул стінки, володіє малим запасом ВЕ і тому впливом його на зміну ВЕ системи можна знехтувати. Роль тонкого шару полягає в перетворенні упорядкованого руху поршня в хаотичне (теплове) рух молекул цього шару. В результаті такого перетворення зовнішня (ефективна) робота, що відводиться від системи робоче тіло - тонкий шар оболонки (на зовнішній межі), виходить менше внутрішньої (індикаторної) роботи, яку здійснюють робочим тілом на внутрішньому кордоні системи, на роботу тертя поршня об гільзу циліндра (див . рис. 2.1)
Впорядкований рух поршня, диссипировать в хаотичний рух тонких шарів поршня і стінки, в результаті теплообміну далі відводиться до робочого тіла і в навколишнє середовище. Якщо стінки адіабатні (наприклад, керамічні) або підведення тепла здійснюється з зовнішньої сторони циліндра (двигуни зовнішнього згоряння), то все диссипировать рух (характеризується роботою тертя W тр) повертається до РТ у вигляді хаотичного руху (що характеризується теплотою тертя Q тр).
Теплота, що підводиться на зовнішньому кордоні системи від джерел тепла (або спіралі, розташованої всередині газу або усередині матеріалу оболонки) або в результаті згоряння палива всередині робочого тіла, називається зовнішньої теплотою
При згорянні палива усередині робочого тіла зовнішня теплота менше виділилася теплоти згорання на втрати тепла в стінки циліндра
Q e \u003d Q сгор - Q пот.стен. (2.10)
В результаті підведення тепла тертя робоче тіло отримує на внутрішньому кордоні повну теплоту, що дорівнює сумі зовнішньої теплоти і теплоти тертя
Відповідно до вище викладеним рівняння ПЗТ (2.7) для зовнішнього кордону системи (для РТ плюс оболонка) запишеться у вигляді
а для внутрішнього кордону системи (для одного РТ) у вигляді
Якщо ввести поняття зовнішньої по знаку ефективної роботи (позитивна при здійсненні роботи над системою), то рівняння ПЗТ (2.12) можна записати у вигляді
Кожна з цих ефективних робіт може бути представлена \u200b\u200bу вигляді суми різних робіт, що здійснюються на кордоні системи,
де N - число різних робіт.
Закон збереження енергії. Енергетичний баланс. Енергія, робота, тепло. Внутрішня енергія, потенційна енергія, кінетична енергія.
Рівняння Бернуллі для газу. Рівняння ентальпії. Адіабатне перебіг. Енергоізолірованное перебіг. Ізоентропное перебіг.
Енергоізолірованное ізоентропное перебіг.
вивчення основних рівнянь і залежностей , Що застосовуються в газовій динаміці , Зручно провести спочатку для елементарної цівки або одновимірного потоку, А потім поширити їх на більш складні види руху.
Велике значення в газовій динаміці має закон збереження енергії . Він, як відомо, констатує той факт, що
енергія не виникає і не зникає, а лише перетворюється з одного виду в інший.
Отже, склавши баланс енергії для якого-небудь кількості газу, наприклад, для одиниці маси, Можна знайти співвідношення між різними складовими енергії. така математична запис енергетичного балансу і являє собою рівняння енергії .
складання балансу енергії розглянемо на прикладі газотурбінної установки , Схема якої зображена на малюнку 6.
через вхідний перетин 1 повітря з атмосфери надходить в компресор, де стискається і подається в камеру згоряння. Туди ж, в камеру згоряння, надходить рідке паливо, яке, змішавшись з повітрям, згорає, виділяючи велику кількість тепла . Таким чином, в турбіну з камери згоряння надходять утворилися там продукти згоряння з високою температурою і високим тиском. У турбіні вони розширюються, виробляючи роботу - обертаючи ротор. Частина роботи турбіни за допомогою вала передається на обертання компресора, інша частина віддається споживачу. Відпрацьовані гази залишають турбіну, виходячи через перетин 2.
енергіяповітря, що поступає, віднесена до одиниці маси , позначена Е 1, енергія газу, що виходить - Е 2.
підведене тепло позначено Q е. індекс « е" означає, що тепло підводилося ззовні (externus – лат. зовнішній , сторонній).
Тут немає ніякого протиріччя: незважаючи на те, що згоряння відбувалося всередині камери і тепло, що підігріває газ, виділялося саме там, енергія ця була внесена зовні в прихованому вигляді, разом з паливом. Отже, оскільки не ставиться завдання вивчення фізико-хімічних процесів горіння, а розглядаються тільки явища газодинамічного характеру, то можна вважати, що тепло в кількості Q е було внесено в камеру згоряння зовні.
Роботана валу установки, Віддана споживачеві, позначена L. вона також віднесена до одиниці маси що проходить через установку повітря.
на малюнку 7 зображена спрощена схема перебігу. на розрахунковій ділянці між перетинами 1і 2 , Так само як і в попередньому випадку, підводиться тепло і відводиться механічна робота . Отже, для спрощеної схеми баланс енергії буде таким же, як і для газотурбінної установки, Але користуватися цією схемою простіше і зручніше.
баланс енергії для розглянутої схеми течії можна записати наступним рівнянням:
Е 1 - Е 2 + Q е - L \u003d 0. (2.1)
Далі необхідно розшифрувати, що мається на увазі під повним запасом енергії одиниці маси газу Е. При цьому потрібно мати на увазі, що в «Повний запас енергії» немає потреби включати всі її складові (наприклад, хімічну, електричну, внутрішньоядерних); цілком достатньо взяти до уваги тільки ті її види, які можуть перетворюватися один в інший в межах досліджуваних газодинамічних завдань. Тоді можна записати, що
E \u003d u + p / ρ + w 2/2 + gz, (2.2)
де u - внутрішня енергія одиниці маси газу;
p / ρ– потенціальна енергія тиску одиниці маси газу;
w 2/2– кінетична енергія одиниці маси газу;
gz- потенційна енергія положення (Рівня) одиниці маси газу;
z– геометрична висота;
g - прискорення сили тяжіння .
Всі зазначені величини вимірюються в одиницях роботи на одиницю маси, А саме в дж / кгабо, що те ж саме, в м 2 / сек 2 (В системі СІ).
Підставивши в рівняння (2.1) значення Е 1 і Е 2, Виражені за допомогою рівняння (2.2), і з огляду на різницю внутрішніх енергій u 1 - u 2 \u003d C v (T 1 -Т 2), отримаємо
C v (T 1 -Т 2) + p 1 / ρ 1 -p 2 / ρ 2 + (w 1 2 - w 2 2) / 2 + g (z 1 -z 2) + Q е -L \u003d 0. (2.3)
Це і є рівняння енергії для одновимірного потоку або для елементарної цівки. Воно показує, як відбувається зміна внутрішньої енергії C v (T 1 -Т 2), потенційної енергії тиску p 1 / ρ 1 -p 2 / ρ 2, кінетичної енергії (w 1 2 - w 2 2) / 2, потенційної енергії положення g (z 1 -z 2) в результаті дії подведенного ззовні тепла Q е і роботи L, Відданої газом зовнішньому споживачеві . зміна внутрішньої енергії пов'язане зі зміною температури газу, кінетичної енергії - зі зміною швидкості потоку, потенційної енергії рівня - зі зміною висоти положення розглянутої маси газу над площиною, прийнятої за початок відліку. Що стосується зміни потенційної енергії тиску, То воно вимагає спеціальних роз'яснень.
на малюнку 8 зображений розрахунковий ділянку потоку, обмежений на вході перетином 1 і на виході - перетином 2.
При вході газу через перетин 1 сили зовнішнього тиску р 1 F 1, вталківая в розрахунковий, ділянку обсяг газу F 1 Δx 1, здійснюють роботу p 1 F 1 Δx 1.
при виході з розрахункового ділянки, через перетин 2 об `єм газу F 2 Δx 2 здійснює роботу проти сил зовнішнього тиску p 2 F 2 Δх 2. Поділивши ці роботи на масу газу у відповідних обсягах, отримаємо
L вт \u003d p 1 F 1 Δx 1 / ρ 1 F 1 Δx 1 \u003d p 1 / ρ 1,
L вит \u003d p 2 F 2 Δx 2 / ρ 2 F 2 Δx 2 \u003d p 2 / ρ 2.
отже, p 1 / ρ 1 -p 2 / ρ 2 \u003d L вт -L витявляє собою різницю робіт вталкивания і виштовхування одиниці маси газу. Ця величина характеризує накопичення (якщо p 1 / ρ 1\u003e p 2 / ρ 2) потенційної енергії тиску або витрачання її (якщо p 1 / ρ 1
) Потоком газу, що знаходиться всередині розрахункової ділянки.
Зміна потенційної енергії рівня g (z 1 -z 2) В задачах, пов'язаних з розрахунком теплоенергетичних машин або установок, як правило, становить дуже малу величину в порівнянні з іншими членами рівняння енергії. Воно зазвичай не перевищує 50…100 м 2 / сек 2, Тоді як інші члени мають порядок 10 000…100 000 м 2 / сек 2. Тому у всіх подальших міркуваннях і розрахунках величина g (z 1 -z 2) Буде відкинута. Однак, потрібно звернути увагу на завдання такого роду, як розрахунок вентиляційних систем шахт, в яких зміна потенційної енергії рівня дуже велике і може перевищувати значення інших членів рівняння енергії. У цих випадках величина g (z 1 -z 2) Повинна враховуватися обов'язково.
Рівняння енергії можна надати іншу, в багатьох випадках більш зручну для розрахунків форму. Перетворимо суму членів
C v (T 1 -Т 2) + p 1 / ρ 1 -p 2 / ρ 2 \u003d (C v T 1 + p 1 / ρ 1) - (C v T 2 + p 2 / ρ 2) \u003d
\u003d (C v T 1 + RT 1) - (C v T 2 + RT 2) \u003d (C v + R) (T 1 -Т 2) \u003d C p (T 1 -Т 2) ,
використовуючи відоме з термодинаміки співвідношення C p -C v \u003d R, І підставимо отриманий вираз в рівняння (2.3). Тоді рівняння енергії можна записати більш компактно
C p (T 1 -Т 2) + (w 1 2 - w 2 2) / 2 + Q е - L \u003d 0, (2.4)
а головне, три термодинамічних параметра p, ρі Tтепер можна замінити всього лише одним – ентальпії h \u003d C р Т. ("Три в одному"!)
(2.5)
цей вид рівняння енергії називають ще рівнянням ентальпії або теплосодержания, Так як в нього входить ентальпія h.
У рівнянні енергії прийнято наступне правило знаків. Підведене зовнішнє тепло вважається позитивним, а відведений - негативним; робота, здійснена газом і відведена до зовнішнього споживача, - позитивної, а підведена до газу ззовні і витрачена на його стиснення - негативною. Таким чином, в нагрівачі газу (камері згоряння) тепло вважається позитивним , в охолоджувачі - негативним ; робота , Що отримується в турбіні, - позитивної , А витрачається на обертання компресора - негативною . Це правило знаків узгоджується з рівнянням першого закону термодинаміки.
рівняння енергії часто застосовується в диференціальної формі . Щоб отримати його в цій формі, скористаємося таким прийомом. Будемо подумки наближати другий перетин до першого, зменшуючи довжину розрахункового ділянки до нескінченно малої величини. тоді в межі отримаємо замість Q е і Lвідповідно dQ е і dL,аразом кінцевих різниць Т 1 -Т 2 і (W 1 2 - w 2 2) / 2отримаємо відповідні диференціали - dТі - d (w 2/2).
В останніх двох виразах знак мінус з'явився тому, що беруться нескінченно малі різниці T 1 -Т 2і (W 1 2 - w 2 2) / 2, а не T 2 -Т 1і (W 2 2 - w 1 2) / 2.
Підставивши це в рівняння енергії (2.4) і помінявши знаки на зворотні , отримаємо рівняння енергії в диференціальної формі або диференціальне рівняння енергії
(2.6)
Якщо зіставити вираз для повного запасу енергії (2.2)
E \u003d u + p / ρ + w 2/2 + gz,
з лівою частиною рівняння Бернуллі, Яка також представляє величину повного запасу енергії одиниці маси нестисливої \u200b\u200bрідини
p / ρ + w 2/2 + gz \u003d const,
то можна помітити, що в разі газу додатково введена величина внутрішньої енергії u. Це пояснюється тим, що при ρ ≠ соnst теплові процеси впливають на щільність газу, і так як його розширення або стиснення пов'язано з роботою, то в кінцевому підсумку це вплив поширюється на механічні складові енергії. Таким чином, в рівняннях енергії(2.4) і (2.5) присутні величини, які мають як механічне, так і теплове (Калоріческой) походження.
ще однією різновидом рівняння енергіїє узагальнене рівняння Бернуллі для газу . Від рівнянь (2.4) або (2.5) воно відрізняється тим, що всі вхідні в нього складові мають механічне походження. Це рівняння можна отримати наступним шляхом. Скористаємося тим же самим прийомом, за допомогою якого вище було отримано диференціальне рівняння енергії (2.6) і представимо рівняння (2.3) в диференціальному вигляді:
(2.7)
кількість тепла Q, сприймається газом, І кількість тепла Q е, підводиться до нього ззовні, у загальному випадку не однакові : Існує ще теплота треніяQ r, Яка виділяється внаслідок тертя газу об стінки, внутрішнього тертя (що виникає між шарами, що рухаються з різними швидкостями), освіти вихорів і т.п. Це тепло також сприймається газом. Тому
Q \u003d Q е + Q r \u003d Q е + L r. (2.8)
dQ е \u003d dQ - dL r, (2.9)
де L r -робота тертя (в системі одиниць СІ Q r \u003d L r).
Кількість тепла, сприймається газом, Можна визначити за допомогою рівняння першого закону термодинаміки
dQ \u003d C v dT + pdv. (2.10)
Підставивши цей вираз у формулу (2.9), отримаємо
C v dT \u003d dQ e + dL r -pdv. (2.11)
Крім того,
d (p / ρ) \u003d d (pv) \u003d pdv + vdp /. (2.12)
Після підстановки формул (2.11) і (2.12) в рівняння енергії (2.7) і заміни питомої обсягу через щільність v \u003d 1 / ρ отримуємо рівняння Бернуллі для газу в диференціальної формі
dp / ρ + d (w 2/2) + dL + dL r \u003d 0. (2.13)
При вирішенні конкретних завдань рівняння Бернуллі інтегрують в межах від початкового перетину розрахункової ділянки до кінцевого
(2.14)
Якщо в процесі вирішення потрібно отримати параметри потоку в якомусь проміжному перетині розрахункової ділянки, то при інтегруванні це перетин приймається за кінцеве. При вирішенні можна брати невизначений інтеграл. Константа інтегрування визначається тоді з граничних умов, в якості яких зазвичай беруть умови на вході в розрахунковий ділянку.
Для того щоб обчислити ∫ (dp / ρ), Треба знати залежність між р і ρ , Тобто мати рівняння термодинамічної процесу, при якому відбувається протягом газу, наприклад рівняння політропи p / ρ n \u003d const. Якщо відомий термодинамічний процес, то відомий і показник політропи. при політропний процесі інтегрування дає
при ізотермном процесі ( n \u003d 1)
1 2 ∫ (dp / ρ) \u003d (p 1 / ρ 1) ℓn (p 2 / p 1) \u003d RT 1 ℓn (p 2 / p 1). (2.16)
Зіставляючи між собою рівняння енергії і рівняння Бернуллі, Наприклад (2.4) і (2.14), можна помітити, що перше враховує зовнішнє тепло, але не містить роботи тертя в явному вигляді, тоді як друге не містить в явному вигляді зовнішнього тепла, але враховує роботу тертя. Тому створюється враження, що ці рівняння не враховують всіх особливостей перебігу. Насправді це не так. Хоча робота тертя і не входить явно в рівняння енергії, але її вплив позначається, перш за все, на температурі Т 2.
Що стосується рівняння Бернуллі, то в ньому зовнішнє тепло враховується при обчисленні ∫ (dp / ρ), А саме, від кількості підведеної тепла залежить величина показника політропи n.
Розглянемо рівняння енергії для окремих випадків перебігу газу .
адіабатне ( або адіабатичне) течія . Такий перебіг відбувається без зовнішнього підведення або відведення тепла , Тобто Q е \u003d 0. Щодо внутрішнього теплопідводу (тепла тертя Q r) Ніяких застережень не робиться, тобто воно або є присутнім, або дорівнює нулю. рівняння енергії в цьому випадку має вигляд:
(2.17)
а рівняння Бернуллі зберігає форму (2.14)
1 2 ∫ (dp / ρ) + (w 2 2 - w 1 2) / 2 + L + L r \u003d 0.
Рівняння (2.17) має велике значення в експериментальній практиці. Ним користуються, наприклад, при експериментальному визначенні роботи турбіни або компресора, коли безпосереднє визначення потужності по крутний момент і числу оборотів важко з технічних причин. Для цього необхідно лише виміряти температури і швидкості газу на вході в машину і вихід з неї і зробити обчислення за формулою (2.17). Зауважимо, що практично справа ще простіша. вимірюються НЕ температури газу і швидкості окремо, а температури гальмування.
Енергоізолірованное протягом. Такий перебіг відбувається без зовнішнього теплообміну (Q е \u003d 0) і без підведення або відведення зовнішньої механічної роботи (L \u003d 0), Тобто без обміну енергією з зовнішнім середовищем на ділянці між вхідним і вихідним перетином. рівняння енергії для енергоізолірованного течії записується так:
(2.18)
C p T 1 + w 1 2/2 \u003d C p Т 2 + w 2 2/2. (2.19)
Зміст останньої рівності полягає в тому, що при енергоізолірованном перебігу повний запас енергії одиниці маси газу залишається незмінним, так як на розрахунковому ділянці енергія ззовні не підводиться і не відводиться в навколишнє середовище.
рівняння Бернуллі для цього виду течії набуває вигляду:
1 2 ∫ (dp / ρ) + (w 2 2 - w 1 2) / 2 + L r \u003d 0. (2.20)
Моделлю енергоізолірованного потоку користуються при розрахунку дифузорів, не охолоджуваних сопел і інших нерухомих каналів, в яких теплообмін із зовнішнім середовищем дуже малий.
Ізоентропное (або ізоентропійним або ізоентропіческое) течія . Такий перебіг відбувається при постійній ентропії S \u003d соnst. Для сталості ентропії необхідно витримати умову Q \u003d 0. З формули (2.8) випливає, що це може бути при Q е \u003d 0, Q r \u003d 0 або при Q е \u003d - Q r.Другий випадок передбачає тепловідвід в зовнішнє середовище, в точності рівний теплопідводу від тертя. Такий точний тепловий баланс рідко може зустрічатися в практиці, а тому тут не розглядається. Таким чином, можна вважати, що протягом буде ізоентропним в тому випадку, якщо відсутнє тертя і зовнішній теплообмін . Для цього виду течії рівняння енергії записується так само, як і для адиабатного течії (див. формулу (2.17))
C p (T 1 -Т 2) + (w 1 2 - w 2 2) / 2 - L \u003d 0,
а рівняння Бернуллі має вид:
1 2 ∫ (dp / ρ) + (w 2 2 - w 1 2) / 2 + L \u003d 0. (2.21)
При обчисленні інтеграла тут потрібно мати на увазі, що рі ρ пов'язані рівнянням ізоентропа p / ρ k \u003d const. Моделлю ізоентропного потоку користуються при теоретичних розрахунках і дослідженнях ідеальних компресорів і турбін.
Енергоізолірованное ізоентропное протягом. Такий перебіг відбувається без енергетичного обміну із зовнішнім середовищем ( QЕ \u003d 0, L \u003d 0) і без тертя (Lr \u003d Qr \u003d 0). При цьому автоматично дотримуються умови ізоентропності (ізоентропійним) Процесу. рівняння енергії має той же вигляд, що і для енергоізолірованного течії (2.18) або (2.19)
C p (T 1 -Т 2) + (w 1 2 - w 2 2) / 2 \u003d 0,
C p T 1 + w 1 2/2 \u003d C p Т 2 + w 2 2/2,
а рівняння Бернуллі записується так:
1 2 ∫ (dp / ρ) + (w 2 2 - w 1 2) / 2 \u003d 0. (2.22)
Тут також при обчисленні інтеграла зв'язок між тиском і щільністю встановлюється рівнянням ізоентропа. Цей окремий випадок застосовується досить широко. Наприклад, в теоретичної газодинаміці більшість завдань розглядається в припущенні саме такого виду течії.
У диференціальної формі рівняння (2.18) і (2.22) мають такий вигляд:
C p dT + d (w 2/2) \u003d 0, (2.23)
dp / ρ + d (w 2/2) \u003d 0.(2.24)
Розглянемо ще дві досить уживаних форми запису рівняння Бернуллі для енергоізолірованного ізоентропного течії. Інтегруючи рівняння (2.24), маємо
∫ (dp / ρ) + w 2/2 \u003d const.
використовуючи рівняння ізоентропа
p / ρ k \u003d B \u003d const,
і такі очевидні співвідношення
ρ k \u003d (p / B); ρ \u003d (p / B) 1 / k; B 1 / k \u003d (p / ρ k) 1 / k \u003d p 1 / k / ρ;
знайдемо значення інтеграла
∫ (dp / ρ) \u003d ∫ (dp / (p / B) 1 / k) \u003d B 1 / k ∫ (dp / p 1 / k) \u003d B 1 / k ∫p -1 / k dp \u003d
\u003d B 1 / k p (1-1 / k) / (1-1 / k) \u003d p 1 / k ∙ p (1-1 / k) ∙ k / ρ ∙ (k-1) \u003d
\u003d (K / (k-1)) (p 1 / k ∙ p (k-1) / k / ρ) \u003d (k / (k-1)) p / ρ.
і, підставивши його в попереднє рівняння, отримаємо
(K / (k-1)) p / ρ + w 2/2 \u003d const. (2.25)
Якщо зіставити рівняння (2.25) з рівнянням Бернуллі для горизонтального течії ідеальної нестисливої \u200b\u200bрідини
p / ρ + w 2/2 \u003d const,
то можна помітити, що вони відрізняються тільки перших складових: для газу коефіцієнт, що стоїть перед p / ρдорівнює k / (k-1) тоді як для нестисливої \u200b\u200bрідини він дорівнює 1 . Таким чином, величина k / (k-1) враховує вплив стисливості.
Якщо скористатися співвідношенням, за допомогою якого визначається швидкість поширення звуку a 2 \u003d kRT \u003d kp / ρ, І перетворити перший доданок рівняння (2.25), то останнім набуває вигляду:
a / (k-1) + w 2/2 \u003d const. (2.26)
Ця форма запису рівняння Бернуллі широко застосовується в теоретичної газодинаміці.
G p / ρ k \u003d const. p / ρ \u003d RT. a \u003d √kRT. a 2 \u003d kRT \u003d kp / ρ.
Е 1 - Е 2 + Q е - L \u003d 0. E \u003d u + p / ρ + w 2/2 + gz.
C v (T 1 -Т 2) + p 1 / ρ 1 -p 2 / ρ 2 + (w 1 2 - w 2 2) / 2 + g (z 1 -z 2) + Q е -L \u003d 0.
C v dT + d (p / ρ) + d (w 2/2) - dQ е + dL \u003d 0.
C p (T 1 -Т 2) + (w 1 2 - w 2 2) / 2 + Q е - L \u003d 0.
h 1 -h 2 + (w 1 2 - w 2 2) / 2 + Q е - L \u003d 0.
C p dT + d (w 2/2) - dQ е + dL \u003d 0.
dp / ρ + d (w 2/2) + dL + dL r \u003d 0.
(K / (k-1)) p / ρ + w 2/2 \u003d const. a / (k-1) + w 2/2 \u003d const.
p / ρ + w 2/2 \u003d const.
Баланс енергії можна скласти для будь-якої схеми течії. Приклад з газотурбінної установкою узятий тому, що в ньому присутні всі складові енергетичного балансу, що розглядаються в газодинамічних задачах.
Необхідно зауважити, що це рівняння було отримано в наші дні. Ім'я Данила Бернуллі йому присвоєно тому, що воно є узагальненням відомого в гідродинаміці рівняння Бернуллі на випадок перебігу газу.
Береться невизначений інтеграл.
Рівняння руху можна використовувати для опису взаємоперетворення форм енергії поточної в даному місці рідини.
де т - нормальна напруга від сил тертя в в'язкої рідини.
Складемо рівняння, подібне за формою рівняння (2.49) розділу
2.7, але введемо в нього скалярную величину, обумовлену локальною швидкістю зі:
Це скалярний рівняння описує швидкість зміни кінетичної енергії на одиницю маси (Зі 1 + 12) для елемента рідини, що переміщається вниз по потоку.
Перепишемо це рівняння в формі, більш зручною для його подальшого дослідження: уявімо субстанциальную похідну в символах dldt шляхом використання рівняння суцільності (див. розділ 2.5); кожен з членів, що описують дію тиску і в'язкості, розділимо на два. Всі члени в результуючому рівнянні запишемо для нерухомого елемента обсягу, через який протікає рідина:
Ліва частина рівняння являє швидкість зростання кінетичної енергії на одиницю об'єму. Права частина рівняння складається з швидкостей: підведення кінетичної енергії за допомогою потоку маси; виробництва роботи тиском навколишнього середовища на обсяг елемента; оборотного перетворення роботи сил тиску у внутрішню енергію; виробництва роботи вязкостнимі силами на обсяг елемента; незворотного перетворення роботи сил в'язкого тертя у внутрішню енергію; виробництва роботи гравітаційними силами на обсяг елемента.
Фізичний сенс членів р (у зі) і (r: V
Відзначимо, що член (-f: V
де i і j беруть за величиною х, у, z, тобто i, j = х, у, z, а 6і - 1 для / \u003d j і 5^ \u003d 0 для i & j
де Ф 0 - диссипативная функція. Ця функція являє собою кількість теплоти, що виникає в потоці в'язкої рідини за рахунок незворотної роботи сил внутрішнього (вузького) терня, і виражається через градієнт швидкостей.
Отже, член (г: V #) завжди позитивний, а це значить, що у всіх потоках рідини відбувається взаємоперетворення механічної енергії в теплову і тому реальні процеси необоротні. При відсутності члена (r: V
Явища, які враховуються членом p (V
Явища, які враховуються членом (f: V
Системи рівнянь суцільності (2.38), руху (2.49) і стану в формі р = р (р) використовуються для опису изометрических процесів в поточній рідини. Якщо при зміні щільності і тиску відбувається зміна температури (неізотерміческімі процес), то систему рівнянь суцільності і руху слід доповнити рівнянням стану у формі F (p, p, T) \u003d0.
Для ідеального газу рівняння стану має вигляд
В основі рівняння переносу енергії лежить закон збереження енергії. Розглянемо нерухомий елемент обсягу, через який тече однорідна рідина. Запишемо для рідини, що міститься всередині виділеного елемента обсягу в даний момент часу закон збереження енергії:
У цьому рівнянні під кінетичної енергією розуміють енергію видимого руху рідини (РСО 1 / 2 на одиницю об'єму). під внутрішньою енергією рідини розуміється сума внутрішньої кінетичної енергії теплового руху молекул і внутрішньої потенційної енергії взаємодії між молекулами (внутрішня енергія рідини залежить від її локальної температури і щільності). Потенціальна енергія потоку не входить в це рівняння в явному вигляді, вона включена в термін «робота». Напишемо вираз для окремих членів, що входять в рівняння
Швидкість накопичення внутрішньої і кінетичної енергій елементів об'ємом AxAyAz (рис. 2.4): 
де і - внутрішня енергія рідини на одиницю її маси; зі - локальна швидкість рідини.
результуюча швидкість приходу внутрішньої і кінетичної енергій:
швидкість підведення енергії за допомогою теплопровідності дорівнює
де q x, \u200b\u200bq y, q x- компоненти вектора щільності теплового потоку q.
Робота, досконала елементом об'ємом Л V проти довкілля, складається з двох частин: роботи проти об'ємних сил (гравітації); роботи проти поверхневих сил (тиску і сил в'язкості).
Нагадаємо, що робота дорівнює добутку сили на шлях в напрямку дії сили, тоді швидкість виробництва роботи дорівнює добутку сили на швидкість в напрямку дії сили.
Швидкість виробництва роботи проти трьох компонентів гравітаційної сили на одиницю маси елемента:
Знак мінус означає, що робота проведена проти сил гравітації, тобто зі і g спрямовані в протилежні сторони.
Швидкість виробництва роботи проти статичного тиску р,
прикладеного до шести гранях елемента AxAyAz:
Таким же чином знайдемо швидкість виробництва роботи проти сил в'язкості
Підставимо отримані вирази в рівняння (2.56), розділивши всі члени отриманого рівняння на AxAyAz і перейшовши до межі при Ах, Ау і Az, що прагнуть до нуля, отримаємо рівняння енергії:
Це рівняння може бути записано в більш компактній векторно-тензорною формі:
У лівій частині рівняння - швидкість збільшення енергії на одиницю об'єму. Права частина рівняння складається з швидкостей: підведення енергії на одиницю об'єму за допомогою конвекції; підведення енергії на одиницю об'єму за допомогою теплопровідності; виробництва роботи над рідиною на одиницю об'єму гравітаційними силами; виробництва роботи над рідиною на одиницю об'єму силами тиску; виробництва роботи над рідиною на одиницю об'єму силами в'язкості.
Перетворимо рівняння енергії за допомогою рівнянь суцільності (розділ 2.5) і руху (розділ 2.7). Цю операцію зробимо таким же чином, як це було зроблено при переході від форми рівняння руху (2.45) до форми (2.48) за допомогою рівняння суцільності (2.38).
Зробимо диференціювання лівій частині рівняння (2.58), для цього перенесемо туди конвективную складову швидкості підведення енергії і після перегрупування отримаємо:
Перший член в лівій частині рівняння (2.59) являє собою субстанциальную похідну від (і + зі 1 / 2); другий член дорівнює нулю на підставі рівняння суцільності (2.38).
Перепишемо рівняння (2.59) з урахуванням сказаного:
Відзначимо, що отримані тут дві форми рівняння енергії (2.47) і (2.60) кореспондуються з двома формами рівняння суцільності (2.39), (2.40) і двома формами рівняння руху (2.47) і (2.49).
Рівняння (2.58) описує енергетичний обмін в рідини з точки зору нерухомого спостерігача, а (2.60) описує цей обмін, як його спостерігав би дослідник, що рухається разом з потоком.
Рівняння (2.60) є рівняння обміну, написане для суми енергій на одиницю маси (І + з 2 / 2).
Рівняння переносу для одного з доданків цієї суми було отримано раніше (2.53). Перепишемо його в такій формі:
Віднімаючи рівняння (2.61) з (2.60), отримаємо рівняння обміну для внутрішньої енергії і у вигляді:
У лівій частині рівняння - швидкість накопичення внутрішньої енергії на одиницю об'єму. Права частина рівняння складається з швидкостей: підведення внутрішньої енергії за допомогою теплопровідності на одиницю об'єму; зростання внутрішньої енергії при оборотному стисненні на одиницю об'єму; зростання внутрішньої енергії за рахунок незворотної диссипации на одиницю об'єму.
Рівняння (2.62) називають рівнянням теплової енергії або просто рівнянням енергії.
Уявімо член pDu! Dt у формі pC v DT / Dt (C v - питома теплоємність при постійному обсязі); член V q у формі:
де q t \u003d -ЛдТ / дх, q y - -ЛдТ / ду,q x \u003d-ЛдТ/dz член (f: Vco) за рівнянням (2.55).
З урахуванням цих доповнень рівняння (2.62) можна представити в такій формі:
Велике значення мають окремі випадки рівняння (2.63). Наприклад, для випадку, коли коефіцієнт теплопровідності Л не залежить від температури, координат і р - const (V 0), рівняння (2.63) набуде вигляду:
для ідеального стиснення газу
для твердого тіла з- 0, тому
де а \u003d Л / (рЗ v) ~ коефіцієнт температуропровідності; C v \u003dЗ р - ЗС - теплоємність твердого тіла.
або інакше
Це рівняння називають рівнянням теплопровідності Фур'є.
Для випадку, коли температура не змінюється в часі, рівняння (2.64) має вигляд:
Останнє рівняння називають рівнянням Лапласа.
