Свойства отношений и их графы. Бинарные отношения. Операции над бинарными отношениями Математические бинарные отношения

для отношения нестрогого порядка:

х X -- истинно (рефлексивность);

ху и ух х = у -- (антисимметричность);

х у и у z xу z -- (транзитивность).

Множество X называют упорядоченным, если любые два элемента х и у этого множества сравнимы, т. е. если для них выполняется одно из условий: х < у, х = у, у < х.

Упорядоченное множество называют кортежем. В общем случае кортеж -- это последовательность элементов, т. е. совокупность элементов, в которой каждый элемент занимает вполне определенное место. Элементы упорядоченного множества называются компонентами кортежа. Примерами кортежа может служить упорядоченная последовательность чисел арифметической или геометрической прогрессий, последовательность технологических операций при изготовлении какого-либо радиоэлектронного изделия, упорядоченная последовательность установочных позиций печатной платы для закрепления конструктивных элементов.

Во всех этих множествах место каждого элемента вполне определено и не может произвольно изменяться.

При обработке конструкторской информации на ЭВМ часто используют отношения доминирования. Говорят, что хX доминирует над уX, т. е. х>>у, если элемент х в чем-либо превосходит (имеет приоритет) элемент у того же множества. Например, под х можно понимать один из списков данных, который должен поступить на обработку первым. При анализе нескольких конструкций РЭА какой-либо из них должен быть отдан приоритет, так как эта конструкция обладает лучшими, с нашей точки зрения, свойствами, чем другие, т. е. конструкция х доминирует над конструкцией у.

Свойство транзитивности при этом не имеет места. Действительно, если, например, конструкцию х по каким-либо одним параметрам предпочли конструкции у, а конструкцию у по каким-либо другим параметрам предпочли конструкции z, то отсюда еще не следует, что конструкции х должно быть отдано предпочтение по сравнению с конструкцией г.

Отображение множеств. Одним из основных понятий теории множеств является понятие отображения. Если заданы два непустых множества X и Y, то закон, согласно которому каждому элементу xX ставится в соответствие элемента, называют однозначным отображением X в Y или функцией, определенной на X и принимающей значение на Y.

На практике приходится иметь дело и с многозначными отображениями множества X на множестве Y, которые определяют закон, согласно которому каждому элементу хX ставится в соответствие некоторое подмножество , называемое образом элементов. Возможны случаи, когда Гх = 0.

Пусть задано некоторое подмножество АX. Для любого хА образом х является подмножество . Совокупность всех элементов Y, являющихся образами для всех х в А, назовем образом множества А и будем обозначать ГА. В этом случае

Лекция 3.

п.3. Отношения на множествах. Свойства бинарных отношений.

3.1. Бинарные отношения .

Когда говорят о родстве двух людей, например, Сергей и Анна, то подразумевают, что есть некая семья, к членам которой они относятся. Упорядоченная пара (Сергей, Анна) отличается от других упорядоченных пар людей тем, что между Сергеем и Анной есть некое родство (кузина, отец и т. д.).

В математике среди всех упорядоченных пар прямого произведения двух множеств A и B (A ´B ) тоже выделяются «особые» пары в связи с тем, что между их компонентами есть некоторые «родственные» отношения, которых нет у других. В качестве примера рассмотрим множество S студентов какого-нибудь университета и множество K читаемых там курсов. В прямом произведении S ´K можно выделить большое подмножество упорядоченных пар (s , k ), обладающих свойством: студент s слушает курс k . Построенное подмножество отражает отношение «… слушает …», естественно возникающее между множествами студентов и курсов.

Для строгого математического описания любых связей между элементами двух множеств введем понятие бинарного отношения.

Определение 3.1. Бинарным (или двухместным ) отношением r между множествами A и B называется произвольное подмножество A ´B , т. е.

В частности, если A= B (то есть rÍA 2), то говорят, что r есть отношение на множестве A.

Элементы a и b называются компонентами (или координатами ) отношения r.

Замечание. Договоримся, что для обозначения отношений между элементами множеств использовать греческий алфавит : r, t, j, s, w и т. д.

Определение 3.2. Областью определения D r={a | $ b , что a rb } (левая часть). Областью значений бинарного отношения r называется множество R r={b | $ a , что a rb } (правая часть).

Пример 3. 1. Пусть даны два множества A ={1; 3; 5; 7} и B ={2; 4; 6}. Отношение зададим следующим образом t={(x ; y )ÎA ´B | x+ y =9}. Это отношение будет состоять из следующих пар (3; 6), (5; 4) и (7; 2), которые можно записать в виде t={(3; 6), (5; 4), (7;2)}. В данном примере D t={3; 5; 7} и R t= B ={2; 4; 6}.

Пример 3. 2. Отношение равенства на множестве действительных чисел есть множество r={(x ; y ) | x и y – действительные числа и x равно y }. Для этого отношения существует специальное обозначение «=». Область определения совпадает с областью значений и является множеством действительных чисел, D r= R r.

Пример 3. 3. Пусть A – множество товаров в магазине, а B – множество действительных чисел. Тогда j={(x ; y )ÎA ´B | y – цена x } – отношение множеств A и B .

Если обратить внимание на пример 3.1., то можно заметить, что данное отношение было задано сначала в виде t={(x ; y )ÎA ´B | x+ y =9}, а потом записано в виде t={(3; 6), (5;4), (7;2)}. Это говорит о том, что отношения на множествах (или одном множестве) можно задавать различными способами. Рассмотрим способы задания бинарных отношений.

Способы задания отношений:

1) с помощью подходящего предиката;

2) множество упорядоченных пар;

3) в графической форме: пусть A и B – два конечных множества и r – бинарное отношение между ними. Элементы этих множеств изображаем точками на плоскости. Для каждой упорядоченной пары отношения r рисуют стрелку, соединяющую точки, представляющие компоненты пары. Такой объект называется ориентированным графом или орграфом , точки же, изображающие элементы множеств, принято называть вершинами графа .

4) в виде матрицы: пусть A ={a 1, a 2, …, an } и B ={b 1, b 2, …, bm }, r – отношение на A ´B . Матричным представлением r называется матрица M =[mij ] размера n ´m , определенная соотношениями

.

Кстати, матричное представление является представлением отношения в компьютере.

Пример 3. 4. Пусть даны два множества A ={1; 3; 5; 7}и B ={2; 4; 6}. Отношение задано следующим образом t={(x ; y ) | x+ y =9}. Задать данное отношение как множество упорядоченных пар, орграфом, в виде матрицы.

Решение. 1) t={(3; 6), (5; 4), (7; 2)} - есть задание отношения как множества упорядоченных пар;

2) соответствующий ориентированный граф показан на рисунке.

https://pandia.ru/text/78/250/images/image004_92.gif" width="125" height="117">. ,

Пример 3. 5 . Еще в качестве примера можно рассмотреть предложенную Дж. фон Нейманом (1903 – 1957) блок-схему ЭВМ последовательного действия, которая состоит из множества устройств M :

,

где a – устройство ввода, b – арифметическое устройство (процессор), c – устройство управления, d – запоминающее устройство, e – устройство вывода.

Рассмотрим информационный обмен между устройствами mi и mj , которые находятся в отношении r, если из устройства mi поступает информация в устройство mj .

Это бинарное отношение можно задать перечислением всех его 14 упорядоченных пар элементов:

Соответствующий орграф, задающий это бинарное отношение, представлен на рисунке:

Матричное представление этого бинарного отношения имеет вид:

. ,

Для бинарных отношений обычным образом определены теоретико-множественные операции: объединение, пересечение и т. д.

Введем обобщенное понятие отношения.

Определение 3.3. n-местное (n -арное ) отношение r – это подмножество прямого произведения n множеств, то есть множество упорядоченных наборов (кортежей )

rÍA 1´…´An ={(a 1, …, an )| a 1ÎA 1Ù … Ùan ÎAn }

Многоместные отношения удобно задавать с помощью реляционных таблиц . Такое задание соответствует перечислению множества n -к отношения r. Реляционные таблицы широко используются в компьютерной практике в реляционных базах данных . Заметим, что реляционные таблицы нашли применение в повседневной практике. Всевозможные производственные, финансовые, научные и другие отчеты часто имеют форму реляционных таблиц.

Слово «реляционная » происходит от латинского слова relation , которое в переводе на русский язык означает «отношение». Поэтому в литературе для обозначения отношения используют букву R (латинскую) или r (греческую).

Определение 3.4. Пусть rÍA ´B есть отношение на A ´B. Тогда отношение r-1 называется обратным отношением к данному отношению r на A ´B , которое определяется следующим образом:

r-1={(b , a ) | (a , b )Îr}.

Определение 3.5. Пусть r ÍA ´B есть отношение на A ´B, а s ÍB ´C – отношение на B ´C. Композицией отношений s и r называется отношение t ÍA ´C ,которое определяется следующим образом:

t=s◦r= {(a , c )| $ b Î B, что (a , b )Îr и (b , c )Îs}.

Пример 3. 6 . Пусть , и C ={, !, d, à}. И пусть отношение r на A ´B и отношение s на B ´C заданы в виде:

r={(1, x ), (1, y ), (3, x )};

s={(x ,), (x , !), (y , d), (y , à)}.

Найти r-1 и s◦r, r◦s.

Решение. 1) По определению r-1={(x , 1), (y , 1), (x , 3)};

2) Используя определение композиции двух отношений, получаем

s◦r={(1,), (1, !), (1, d), (1, à), (3,), (3, !)},

поскольку из (1, x )Îr и (x ,)Îs следует (1,)Îs◦r;

из (1, x )Îr и (x , !)Îs следует (1, !)Îs◦r;

из (1, y )Îr и (y , d)Îs следует (1, d)Îs◦r;

из (3, x )Îr и (x , !)Îs следует (3, !)Îs◦r.

Теорема 3.1. Для любых бинарных отношений выполняются следующие свойства:

2) ;

3) - ассоциативность композиции.

Доказательство. Свойство 1 очевидно.

Докажем свойство 2. Для доказательства второго свойства покажем, что множества, записанные в левой и правой частях равенства, состоят из одних и тех же элементов. Пусть (a ; b ) Î (s◦r)-1 Û (b ; a ) Î s◦r Û $ c такое, что (b ; c ) Î r и (c ; a ) Î s Û $ c такое, что (c ; b ) Î r-1 и (a ; c ) Î s-1 Û (a ; b ) Î r -1◦s -1.

Свойство 3 доказать самостоятельно.

3.2. Свойства бинарных отношений .

Рассмотрим специальные свойства бинарных отношений на множестве A .

Свойства бинарных отношений.

1. Отношение r на A ´A называется рефлексивным , если (a ,a ) принадлежит r для всех a из A .

2. Отношение r называется антирефлексивным , если из (a ,b )Îr следует a ¹b .

3. Отношение r симметрично , если для a и b , принадлежащих A , из (a ,b )Îr следует, что (b ,a )Îr.

4. Отношение r называется антисимметричным , если для a и b из A , из принадлежности (a ,b ) и (b ,a ) отношению r следует, что a =b .

5. Отношение r транзитивно , если для a , b и c из A из того, что (a ,b )Îr и (b ,c )Îr, следует, что (a ,c )Îr.

Пример 3. 7. Пусть A ={1; 2; 3; 4; 5; 6}. На этом множестве задано отношение rÍA 2, которое имеет вид: r={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6), (1; 2), (1; 4), (2; 1), (2;4), (3;5), (5; 3), (4; 1), (4; 2)}. Какими свойствами обладает данное отношение?

Решение. 1) Это отношение рефлексивно, так как для каждого a ÎA , (a ; a )Îr.

2) Отношение не является антирефлексивным, так как не выполняется условие этого свойства. Например, (2, 2)Îr, но отсюда не следует, что 2¹2.

3) Рассмотрим все возможные случаи, показав, что отношение r является симметричным:

4) Данное отношение не является антисимметричным, поскольку (1, 2)Îr и (2,1)Îr, но отсюда не следует, что 1=2.

5) Можно показать, что отношение r транзитивно, используя метод прямого перебора.

Как по матрице представления

определить свойства бинарного отношения

1. Рефлексивность: на главной диагонали стоят все единицы, звездочками обозначены нули или единицы.

.

2. Антирефлексивность: на главной диагонали все нули.

3. Симметричность: если .

4. Антисимметричность: все элементы вне главной диагонали равны нулю; на главной диагонали тоже могут быть нули.

.

Операция «*» выполняется по следующему правилу: , где , .

5. Транзитивность: если . Операция «◦» выполняется по обычному правилу умножения, при этом надо учитывать: .

3.3 Отношение эквивалентности. Отношение частичного порядка.

Отношение эквивалентности является формализацией такой ситуации, когда говорят о сходстве (одинаковости) двух элементов множества.

Определение 3.6. Отношение r на A есть отношение эквивалентности , если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Отношение эквивалентности a rb часто обозначается: a ~ b .

Пример 3. 8 . Отношение равенства на множестве целых чисел есть отношение эквивалентности.

Пример 3. 9 . Отношение «одного роста» есть отношение эквивалентности на множестве людей X .

Пример 3. 1 0 . Пусть ¢ - множество целых чисел. Назовем два числа x и y из ¢ сравнимыми по модулю m (m Î¥) и запишем , если равны остатки этих чисел от деления их на m , т. е. разность (x -y ) делится на m .

Отношение «сравнимых по модулю m целых чисел» есть отношение эквивалентности на множестве целых числе ¢. В самом деле:

это отношение рефлексивно, т. к. для "x ΢ имеем x -x =0, и, следовательно, оно делится на m ;

это отношение симметрично, т. к. если (x -y ) делится на m , то и (y -x ) тоже делится на m ;

это отношение транзитивно, т. к. если (x -y ) делится на m , то для некоторого целого t 1 имеем https://pandia.ru/text/78/250/images/image025_23.gif" width="73" height="24 src=">, отсюда , т. е. (x -z ) делится на m .

Определение 3.7. Отношение r на A есть отношение частичного порядка , если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно и обозначается символом °.

Частичный порядок важен в тех ситуациях, когда мы хотим как-то охарактеризовать старшинство. Иными словами, решить при каких условиях считать, что один элемент множества превосходит другой.

Пример 3. 11 . Отношение x £y на множестве действительных чисел есть отношение частичного порядка. ,

Пример 3. 1 2 . Во множестве подмножеств некоторого универсального множества U отношение A ÍB есть отношение частичного порядка.

Пример 3. 1 3 . Схема организации подчинения в учреждении есть отношение частичного порядка на множестве должностей.

Прообразом отношения частичного порядка является интуитивное понятие отношения предпочтения (предшествования). Отношение предпочтения выделяет класс задач, которые можно объединить, как задача о проблеме выбора наилучшего объекта .

Формулировка задачи: пусть имеется совокупность объектов A и требуется сравнить их по предпочтительности, т. е. задать отношение предпочтения на множестве A и определить наилучшие объекты.

Отношение предпочтения P , которое можно определить как «aPb , a , b ÎA Û объект a не менее предпочтителен, чем объект b » является по смыслу рефлексивным и антисимметричным (каждый объект не хуже самого себя, и, если объект a не хуже b и b не хуже a , то они одинаковы по предпочтительности). Естественно считать, что отношение P транзитивно (хотя в случае, когда, например, предпочтения обсуждаются группой лиц с противоположными интересами, это свойство может быть нарушено), т. е. P – отношение частичного порядка.

Один из возможных способов решения задачи сравнения объектов по предпочтительности – ранжирование , т. е. упорядочение объектов в соответствии с убыванием их предпочтительности или равноценности. В результате ранжирования мы выделяем «наилучшие» или «наихудшие» с точки зрения отношения предпочтения объекты.

Области применения задачи о проблеме выбора наилучшего объекта: теория принятия решений, прикладная математика, техника, экономика, социология, психология.

Само понятие «отношение», конечно, вам знакомо. Мы часто его употребляем в речи. Например, мы можем сказать, что я в хороших отношениях со всеми студентами моей группы.

В жизни мы постоянно находимся в различных отношениях и вступаем в различные отношения. С членами своей семьи мы находимся в отношении родства, со школьными товарищами - в отношении дружбы, с руководителями учреждения, где мы учимся или работаем, - в отношении подчинения и т.д. В этом смысле отношение - это определенный характер связи .

В параграфе 2.2 мы говорили об отношениях, которые существуют между математическими объектами. Так, элемент по отношению к множеству находится в отношении принадлежности, два множества могут находиться в отношении включения или равенства.

Сейчас мы рассмотрим отношения, которые могут существовать между элементами множеств. Итак, мы сказали, что отношение, установленное между элементами множеств в рассмотренном примере, называется бинарными.

По существу в примере мы составили сначала декартово произведение заданных множеств, т.е. множество всех пар элементов этих множеств, так, что первый элемент пары принадлежит первому множеству, а второй - второму. Затем мы из множества этих пар выбрали подмножество тех пар, которые показывают, на каком же факультете учится каждый из студентов.

Определение 2.8. Бинарным отношением между множествами Ли В называется любое подмножество декартова произведения Ах В.

Бинарные отношения обычно обозначают буквами греческого алфавита: р («ро»), а («сигма»), |/ («пси») и др.

Если р - некоторое бинарное отношение между множествами А и В, то согласно определению бинарного отношения мы можем записать, что р с с Л х В.

Если пара (а, b ) принадлежит бинарному отношению р, т.е. (а, b ) е р, то говорят, что элемент а находится в отношении р с элементом b , и пишут арб. Так, в приведенном выше примере рассмотрено отношение «учиться на факультете». Тогда можно сказать, что Петр находится в данном отношении с факультетом математики.

Для некоторых отношений в математике существуют определенные знаки. Например,

В связи с тем что бинарное отношение - это множество пар, то, как любое множество, его можно задать либо перечислением этих пар, либо указанием характеристического свойства для выделения из декартова произведения пар, принадлежащих данному отношению.

Пример 2.6

Пусть заданы два числовых множества: А = {1, 3,5} и В = {2, 8, 10}. Зададим бинарное отношение о между этими множествами перечислением: а = {(1, 2), (5, 10)}. Это же отношение мы может задать и характеристическим свойством: бинарное отношение образуют пары чисел, такие что число из первого множества в два раза меньше числа из второго множества.

Пример 2.7

Рассмотрим множество студентов вашей академической группы. Установим в этом множестве отношение «быть другом». Для любой пары студентов академической группы можно сказать, находятся они в данном отношении или нет. Может даже случиться так, что это бинарное отношение будет образовывать пустое множество. В каком случае это будет?

В последнем примере нужно обратить внимание на то, что мы устанавливали отношение не между элементами двух множеств, а между элементами одного множества. Это также возможно и не противоречит определению бинарного отношения. Только в этом случае вместо декартова произведения двух множеств нужно рассмотреть декартов квадрат множества.

Бинарное отношение, заданное на множестве, может иметь разные свойства. Рассмотрим их.

1. Свойство рефлексивности.

Определение 2.9. рефлексивным , если для любого а е Л пара (а> а) е р.

Отношение «

2. Свойство симметричности.

Определение 2.10. Говорят, что бинарное отношение р, заданное на множестве Л, является симметричным , если для любых элементов а и b из Л из того, что пара (а , b ) находится в отношении р, следует, что пара (b , а) находится в отношении р.

Например, отношение равенства, заданное на множестве действительных чисел, симметрично, так как если число k равно числу п } то и число п равно числу k. Симметричным является и отношение «быть другом».

С другой стороны, отношение упорядоченности по величине (

3. Свойство антисимметричности.

Определение 2.11. Говорят, что бинарное отношение р, заданное на множестве Л, является антисимметричным у если для любых элементов а и b из Л из того, что пары (я, /;) и (/;, а) находятся в отношении р, следует, что а = Ь.

Например, отношение упорядоченности по величине на множестве действительных чисел антисимметрично. Ведь если известно, что для чисел х и у выполнено х и у то это означает, что х - у. А вот отношение параллельности прямых не является антисимметричным, так как если прямая / параллельна прямой t и прямая t параллельна прямой /, то это не означает, что прямые / и t совпадают. Они могут быть различны.

4. Свойство транзитивности.

Определение 2.12. Говорят, что бинарное отношение р, заданное на множестве Л, является транзитивным у если для любых элементов а , b и с из Л из того, что пары (я, b ) и (/?, с) находятся в отношении р, следует, что пара (а, с) также находится в отношении р.

Свойством транзитивности обладают отношения упорядоченности по величине, параллельности, отношение «быть родственником».

Отношение перпендикулярности прямых не является транзитивным (покажите это с помощью рисунка). Также по существу не является транзитивным и отношение «быть другом» (хотя и есть присказка, в которой выражено желание о транзитивности этого отношения: «Друг моего друга - мой друг»).

Мы рассмотрели только основные свойства бинарных отношений, которые определяют два широко используемых типа отношений.

Отношением эквивалентности (или эквивалентностью) называется бинарное отношение, которое обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Отношением упорядоченности (или упорядоченностью) называется бинарное отношение, которое обладает свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности.

Например, отношение «быть одноклассником» является эквивалентностью, так как оно обладает свойством рефлексивности, симметричности и транзитивности. Отношение «быть не выше ростом» на множестве людей является отношением упорядоченности.

Отношения эквивалентности и упорядоченности имеют очень важное значение в различных областях математики, а эквивалентность используется при выполнении классификаций различных объектов. Для того чтобы это понять, обратимся сначала к такому математическому понятию, как разбиение множества.

Определение 2.13. Разбиением множества/! называется представление этого множества в виде объединения непересекающихся подмножеств, которые называются классами разбиения.

Чтобы проверить, что мы имеем дело с разбиением множества, нужно проверить два условия:

• объединение полученных при разбиении подмножеств является исходным множеством;
• пересечение любых двух различных подмножеств является пустым множеством.

При выполнении классификации классами разбиения являются так называемые классы эквивалентности. Как же строятся эти классы?

Пусть на множестве А введено некоторое отношение эквивалентности р. Возьмем любой элемент а из А и все элементы из А, которые находятся с а в отношении р. Все эти элементы и будут образовывать класс эквивалентности элемента а. Понятно, что и сам элемент а попадет в этот класс. Действительно, если р - отношение эквивалентности, то оно обладает свойством рефлексивности, т.е. (а } а) е р, а это и означает, что сам элемент а входит в класс эквивалентности, который он образует.

Можно доказать, что классы эквивалентности различных элементов множества либо совпадают, либо не пересекаются. В связи с этим можно предположить, что эти классы могут рассматриваться в качестве классов разбиения.

Действительно, существует теорема, которая говорит о том, что если на множестве задано отношение эквивалентности, то множество всех классов эквивалентности, содержащих элементы этого множества, является разбиением этого множества.

С другой стороны, можно доказать, что если есть некоторое разбиение множества и на этом множестве задано бинарное отношение так, что пара элементов множества находится в этом отношении только при условии, что они оба принадлежат одному классу разбиения, то это бинарное отношение будет эквивалентностью.

Можно попробовать доказать каждое из этих утверждений самостоятельно или разобрать доказательство, которое приведено в работе .

При использовании классов эквивалентности мы разбиваем множество на подмножества, в каждое из которых входят своего рода «одинаковые» элементы. Например, множество всех положительных дробей можно разбить на классы эквивалентности таким образом: 1) взять каждую несокра-

тимую дробь (например, -); 2) в каждый класс эквивалентности соответ-

2 4 6 8 ч т

ствующеи дроби отнести все равные ей дроби - = - = - = 1аким

образом, мы разобьем все положительные дроби на соответствующие классы эквивалентности. Каждый такой класс является положительным рациональным числом.

• В Большой советской энциклопедии говорится, что «отношение - эмоционально-волевая установка личности на что-либо, т.е. выражение ее позиции; мысленное сопоставление различных объектов или сторон данного объекта». В толковом словаре Д. Н. Ушакова«отношение - взаимное общение, связь между людьми, обществами, странами и т.п., образующаяся из общения на какой-нибудь почве».

Лекция 21. Свойства отношений

1. Свойство рефлексивености

2. Свойство симметричности

3. Свойство транзитивности

Мы установили, что бинарное отношение на множестве X пред­ставляет собой множество упорядоченных пар элементов, принад­лежащих декартову произведению X х Х. Это математическая сущ­ность всякого отношения. Но, как и любые другие понятия, отноше­ния обладают свойствами. Их удалось выделить, изучая различные конкретные отношения. Свойств достаточно много, в нашем курсе мы будем изучать только некоторые.

Рассмотрим на множестве отрезков, представ­ленных на рис. 98, отношения перпендикулярно­сти, равенства и «длиннее». Построим графы этих отношений (рис. 99) и будем их сравнивать. Ви­дим, что граф отношения равенства отличается от двух других наличием петель в каждой его вершине. Эти петли - результат того, что отно­шение равенства отрезков обладает свойством: любой отрезок равен самому себе. Говорят, что отношение равенства обладает свойством рефлек­сивности или просто, что оно рефлексивно.

Определение. Отношение R на множестве X называется рефлексив­ным, если о каждом элементе множества X можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой.

R рефлексивно на Х ↔ х R х для любого х € X.

опр.

Если отношение R рефлексивно на множестве X, то в каждой вер­шине графа данного отношения имеется петля. Справедливо и обрат­ное утверждение: граф, каждая вершина которого имеет петлю, задает отношения, обладающие свойством рефлексивности.

Примеры рефлексивных отношений:

Отношение «кратно» на множестве натуральных чисел (каждое натуральное число кратно самому себе);

Отношение подобия треугольников (каждый треугольник подо­бен самому себе).

Существуют отношения, которые свойством рефлексивности не обладают. Таким, например, является отношение перпендикулярности на множестве отрезков: нет ни одного отрезка, о котором можно ска­зать, что он перпендикулярен самому себе. Поэтому на графе отноше­ния перпендикулярности (рис. 99) нет ни одной петли. Не обладает свойством рефлексивности и отношение «длиннее» для отрезков.

Обратим теперь внимание на графы отношений перпендикулярно­сти и равенства отрезков. Они «похожи» тем, что если есть одна стрелка, соединяющая пару элементов, то обязательно есть и другая, соединяющая те же элементы, но идущая в противоположном направ­лении. Эта особенность графа отражает те свойства, которыми обла­дают отношения параллельности и равенства отрезков:

Если один отрезок перпендикулярен другому отрезку, то этот «другой» перпендикулярен первому;

Если один отрезок равен другому отрезку, то этот «другой» равен первому.

Про отношения перпендикулярности и равенства отрезков гово­рят, что они обладают свойством симметричности или просто сим­метричны.

Определение. Отношение R на множестве X называется симмет­ричным, если выполняется условие: из того, что элемент х находит­ся в отношении R с элементом у, следует, что и элементу находит­ся в отношении R с элементом х.

Используя символы, это отношение можно записать в таком виде:

R симметрично на Х ↔ (х R y →yRx).

опр.

Граф симметричного отношения обладает особенностью: вместе с каждой стрелкой, идущей от х к у, граф содержит и стрелку, идущую от у к x . Справедливо и обратноеутверждение. Граф, содержащий вместе с каждой стрелкой, идущей от x к у, и стрелку, идущую от у к x , является графом симметричного отношения.

В дополнение к рассмотренным двум примерам симметричных от­ношений присоединим еще такие:

Отношениепараллельности на множестве прямых (если прямая x параллельна прямой у, то и прямая у параллельна прямой х)

Отношение подобия треугольников (если треугольник F подобен треугольнику Р, то треугольник Р подобен треугольнику F).

Существуют отношения, которые свойством симметричности не обладают. Таким, например, является отношение «длиннее» на мно­жестве отрезков. Действительно, если отрезок x длиннее отрезка у, то отрезок у не может быть длиннее отрезка х. Про отношения «длиннее» говорят, что оно обладает свойством антисимметрично­сти или просто антисимметрично.

Определение. Отношение R на множестве X называется анти­симметричным, если для различных элементов х и у из множества X выполнено условие: из того, что х находится в отношении R с элементом у, следует, что элемент у в отношении R с элементом х не находится.

R симметрично на Х ↔ (х R y ^ x≠y →yRx).

опр.

Граф антисимметричного отношения обладает особенностью: если две вершины графа соединены стрелкой, то эта стрелка только одна. Справедливо и обратное утверждение: граф, вершины которого со­единены только одной стрелкой, есть граф антисимметричного отношения.

Кроме отношения «длиннее» на множестве отрезков свойством ан­тисимметричности, например, обладают:

Отношение «больше» для чисел (если х больше у, то у не может
быть больше х);

Отношение «больше на 2» для чисел (если х боль­ше у на 2, то у не может быть больше на 2 числа х),

Существуют отношения, не обладающие ни свой­ством симметричности, ни свойством антисиммет­ричности. Рассмотрим, например, отношение «быть сестрой» на множестве детей одной семьи. Пусть в семье трое детей: Катя, Маша и Толя. Тогда граф отношения «быть сестрой» будет таким, как на рисунке 100. Он показывает, что данное отношение не обладает ни свой­ством симметричности, ни свойством антисимметричности.

Обратим внимание еще раз на одну особенность графа отноше­ния «длиннее» (рис. 99). На нем можно заметить: если стрелки про­ведены от е к а и от а к с, то есть стрелка от е к с ; если стрелки приведены от е к b и от b к с, то есть стрелка и от е к с и т.д. Эта особенность графа отражает важное свойство отношения «длиннее»: если первый отрезок длиннее второго, а второй - длиннее третьего, то первый - длиннее третьего. Говорят, что это отношение обладает свойством транзитивности или просто транзитивно.

Определение. Отношение R на множестве X называется транзи­тивным, если выполняется условие; из того, что элемент х нахо­дится в отношении R с элементом у и элемент у находится в от­ношении R с элементом z, следует, что элемент х находится в от­ношении К с элементом z .

Используя символы, это определение можно записать в таком виде:

R транзитивно на X ↔ (х R y ^ yRz → xRz).

опр.

Граф транзитивного отношения с каждой парой стрелок, идущих от x к у и у к z , содержит стрелку, идущую от х к z. Справедливо и обратное утверждение.

Кроме отношения «длиннее» на множестве отрезков свойством транзитивности обладает отношение равенства: если отрезок х равен отрезку у и отрезок у равен отрезку z, то отрезок х равен отрезку z, Это свойство отражено и на графе отношения равенства (рис. 99)

Существуют отношения, которые свойством транзитивности не об­ладают. Таким отношением является, например, отношение перпенди­кулярности: если отрезок а перпендикулярен отрезку d , а отрезок d перпендикулярен отрезку b, то отрезки а и b не перпендикулярны!

Рассмотрим еще одно свойство отношений, которое называют свой­ством связанности, а отношение, обладающее им, называют связанным.

Определение. Отношение R на множестве X называется связан­ным, если для любых элементов х и у из множества X выполняется условие: из того, что х и у различны, следует, что либо х находит­ся в отношении R с элементом у, либо элемент у находится в от­ношении R с элементом х.

Используя символы, это определение можно записать в таком виде:

R связано на множестве X ↔ (х ≠ у => хRу v уRх).

опр.

Например, свойством связанности обладают отношения «больше» длянатуральных чисел: для любых различных чисел х и у можно ут­верждать, что либо х > у, либо у > х.

На графе связанного отношения любые две вершины соединены стрелкой. Справедливо и обратное утверждение.

Существуют отношения, которые свойством связанности не обла­дают. Таким отношением, например, является отношение делимости на множестве натуральных чисел: можно назвать такие числа х и у, что ни число х не является делителем числа у, ни число у не является делителем числа х.

Выделенные свойства позволяют анализировать различные отно­шения с общих позиций - наличия (или отсутствия) у них тех или иных свойств.

Так, если суммировать все сказанное об отношении равенства, за­данном на множестве отрезков (рис. 99), то получается, что оно реф­лексивно, симметрично и транзитивно. Отношение «длиннее» на том же множестве отрезков антисимметрично и транзитивно, а отношение перпендикулярности - симметрично, но оно не обладает свойствами рефлексивности и транзитивности. Все эти отношения на заданном множестве отрезков связанными не являются.

Задача 1. Сформулировать свойства отноше­ния R, заданного при помощи графа (рис. 101).

Решение. Отношение R -антисимметрично, так как вершины графа соединяются только одной стрелкой.

Отношение R - транзитивно, так как с парой стрелок, идущих от b к а и от а к с, на графе есть стрелка, идущая от b к с.

Отношение R - связанно, так как любые две вер­шины соединены стрелкой.

Отношение R свойством рефлексивности не обла­дает, так как на графе есть вершины, в которых петли нет.

Задача 2. Сформулировать свойства отношения «больше в 2 раза», заданного на множестве натуральных чисел.

Решение. «Больше в 2 раза» - это краткая форма отношения «число х больше числа у в 2 раза». Это отношение антисимметрично, так как выполняется условие: из того, что число х больше числа у в 2 раза, следует, что число y не больше числа x 2 раза.

Данное отношение не обладает свойством рефлексивности, пото­му что ни про одно число нельзя сказать, что оно больше самого себя в 2 раза.

Заданное отношение не транзитивно, так как из того, что число x больше числа у на 2, а число у больше числа z на 2, следует, что число х не может быть больше числа z на 2.

Это отношение на множестве натуральных чисел свойством связан­ности не обладает, так как существуют пары таких чисел х и у, что ни число х не больше числа у в два раза, ни число у не больше х в 2 раза. Например, это числа 7 и 3, 5 и 8 и др.

Свойства отношений:

1) рефлексивность;

2)симметричность;

3)транзитивность.

4)связанность.

Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если о каждом элементе множества Х можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой: х Rх. Если отношение рефлексивно, то в каждой вершине графа имеется петля. И обратно, граф, каждая вершина которого содержит петлю, представляет собой граф рефлексивного отношения.

Примерами рефлексивных отношений являются и отношение «кратно» на множестве натуральных чисел (каждое число кратно самому себе), и отношение подобия треугольников (каждый треугольник подобен самому себе), и отношение «равенства» (каждое число равно самому себе) и др.

Существуют отношения, не обладающие свойством рефлексивности, например, отношение перпендикулярности отрезков: ab, ba (нет ни одного отрезка, о котором можно сказать, что он перпендикулярен самому себе). Поэтому на графе данного отношения нет ни одной петли.

Не обладает свойством рефлексивности и отношение «длиннее» для отрезков, «больше на 2» для натуральных чисел и др.

Отношение R на множестве Х называется антирефлексивным , если для любого элемента из множества Х всегда ложно х Rх: .

Существуют отношения, не являющиеся ни рефлексивными, ни антирефлексивными. Примером такого отношения может служить отношение «точка х симметрична точке у относительно прямой l », заданное на множестве точек плоскости. Действительно, все точки прямой l симметричны сами себе, а точки, не лежащие на прямой l, себе не симметричны.

Отношение R на множестве Х называется симметричным , если выполняется условие: из того, что элемент х находится в отношении с элементом y , следует, что и элемент y находится в отношении R с элементом х: xRyyRx .

Граф симметричного отношения обладает следующей особенностью: вместе с каждой стрелкой, идущей от х к y , граф содержит стрелку, идущую от y к х (рис. 35).

Примерами симметричных отношений могут быть следующие: отношение «параллельности» отрезков, отношение «перпендикулярности» отрезков, отношение «равенства» отрезков, отношение подобия треугольников, отношение «равенства» дробей и др.

Существуют отношения, которые не обладают свойством симметричности.

Действительно, если отрезок х длиннее отрезка у , то отрезок у не может быть длиннее отрезка х . Граф этого отношения обладает особенностью: стрелка, соединяющая вершины, направлена только в одну сторону.

Отношение R называют антисимметричным , если для любых элементов х и y из истинности xRy следует ложность yRx: : xRyyRx.

Кроме отношения «длиннее» на множестве отрезков существуют и другие антисимметричные отношения. Например, отношение «больше» для чисел (если х больше у , то у не может быть больше х ), отношение «больше на» и др.

Существуют отношения, которые не обладают ни свойством симметричности, ни свойством антисимметричности.

Отношение R на множестве Х называют транзитивным, если из того, что элемент х находится в отношении R с элементом y, а элемент y находится в отношении R с элементом z , следует, что элемент х находится в отношении R с элементом z : xRy и yRz xRz.

Граф транзитивного отношения с каждой парой стрелок, идущих от х к y и от y к z , содержит стрелку, идущую от х к z.

Свойством транзитивности обладает и отношение «длиннее» на множестве отрезков: если отрезок а длиннее отрезка b , отрезок b длиннее отрезка с , то отрезок а длиннее отрезка с. Отношение «равенства» на множестве отрезков также обладает свойством транзитивности: (а= b, b=с)(а=с).

Существуют отношения, которые не обладают свойством транзитивности. Таким отношением является, например, отношение перпендикулярности: если отрезок а перпендикулярен отрезку b , а отрезок b перпендикулярен отрезку с , то отрезки а и с не перпендикулярны!

Существует еще одно свойство отношений, которое называется свойством связанности, а отношение, обладающее им, называют связанным.

Отношение R на множестве Х называется связанным, если для любых элементов х и y из данного множества выполняется условие: если х и y различны, то либо х находится в отношении R с элементом y , либо элемент y находится в отношении R с элементом х . С помощью символов это можно записать так: xy xRy или yRx.

Например, свойством связанности обладает отношение «больше» для натуральных чисел: для любых различных чисел х и y можно утверждать, либо x>y , либо y>x.

На графе связанного отношения любые две вершины соединены стрелкой. Справедливо и обратное утверждение.

Существуют отношения, которые не обладают свойством связанности. Таким отношением, например, является отношение делимости на множестве натуральных чисел: можно назвать такие числа х и y , что ни число х не является делителем числа y , ни число y не является делителем числа х (числа 17 и 11 , 3 и 10 и т.д.).

Рассмотрим несколько примеров. На множестве Х={1, 2, 4, 8, 12} задано отношение «число х кратно числу y ». Построим граф данного отношения и сформулируем его свойства.

Про отношение равенства дробей говорят, оно является отношением эквивалентности.

Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно одновременно обладает свойством рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Примерами отношений эквивалентности могут служить: отношения равенства геометрических фигур, отношение параллельности прямых (при условии, что совпадающие прямые считаются параллельными).

В рассмотренном выше отношении «равенства дробей», множество Х разбилось на три подмножества: {; ; }, {; }, {}. Эти подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством Х , т.е. имеем разбиение множества на классы.

Итак, если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то оно порождает разбиение этого множества на попарно непересекающиеся подмножества - классы эквивалентности.

Так, мы установили, что отношению равенства на множестве
Х ={ ;; ; ; ; } соответствует разбиение этого множества на классы эквивалентности, каждый из которых состоит из равных между собой дробей.

Принцип разбиения множества на классы при помощи некоторого отношения эквивалентности является важным принципом математики. Почему?

Во-первых, эквивалентный - это значит равносильный, взаимозаменяемый. Поэтому элементы одного класса эквивалентности взаимозаменяемы. Так, дроби, оказавшиеся в одном классе эквивалентности {; ; }, неразличимы с точки зрения отношения равенства, и дробь может быть заменена другой, например . И эта замена не изменит результата вычислений.

Во-вторых, поскольку в классе эквивалентности оказываются элементы, неразличимые с точки зрения некоторого отношения, то считают, что класс эквивалентности определяется любым своим представителем, т.е. произвольным элементом класса. Так, любой класс равных дробей можно задать, указав любую дробь, принадлежащую этому классу. класса эквивалентности по одному представителю позволяет вместо всех элементов множества изучать совокупность представителей из классов эквивалентности. Например, отношение эквивалентности «иметь одинаковое число вершин», заданное на множестве многоугольников, порождает разбиение этого множества на классы треугольников, четырехугольников, пятиугольников и т.д. свойства, присущие некоторому классу, рассматриваются на одном его представителе.

В-третьих, разбиение множества на классы с помощью отношения эквивалентности используется для введения новых понятий. Например, понятие «пучок прямых» можно определить как то общее, что имеют параллельные прямые между собой.

Другим важным видом отношений являются отношения порядка. Рассмотрим задачу.На множестве Х ={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } задано отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3 ». Это отношение порождает разбиение множества Х на классы: в один попадут все числа, при делении которых на 3 получается в остатке 0 (это числа 3, 6, 9 ). Во второй - числа, при делении которых на 3 в остатке получается 1 (это числа 4, 7, 10 ). В третий попадут все числа, при делении которых на 3 в остатке получается 2 (это числа 5, 8 ). Действительно, полученные множества не пересекаются и их объединение совпадает с множеством Х . Следовательно, отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3 », заданное на множестве Х , является отношением эквивалентности.

Возьмем еще пример: множество учащихся класса можно упорядочить по росту или возрасту. Заметим, что это отношение обладает свойствами антисимметричности и транзитивности. Или всем известен порядок следования букв в алфавите. Его обеспечивает отношение «следует».

Отношение R на множестве Х называется отношением строгого порядка , если оно одновременно обладает свойствами антисимметричности и транзитивности. Например, отношение «х< y ».

Если же отношение обладает свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности, то такое оно будет являться отношением нестрогого порядка . Например, отношение «х y ».

Примерами отношения порядка могут служить: отношение «меньше» на множестве натуральных чисел, отношение «короче» на множестве отрезков. Если отношение порядка обладает еще и свойством связанности, то говорят, что оно является отношением линейного порядка . Например, отношение «меньше» на множестве натуральных чисел.

Множество Х называется упорядоченным, если на нем задано отношение порядка.

Например, множество Х= {2, 8, 12, 32 } можно упорядочить при помощи отношения «меньше» (рис. 41), а можно это сделать при помощи отношения «кратно» (рис. 42). Но, являясь отношением порядка, отношения «меньше» и «кратно» упорядочивают множество натуральных чисел по-разному. Отношение «меньше» позволяет сравнивать два любых числа из множества Х , а отношение «кратно» таким свойством не обладает. Так, пара чисел 8 и 12 отношением «кратно» не связана: нельзя сказать, что 8 кратно 12 либо 12 кратно 8.

Не следует думать, что все отношения делятся на отношения эквивалентности и отношения порядка. Существует огромное число отношений, не являющихся ни отношениями эквивалентности, ни отношениями порядка.