Наряду с уравнениями сохранения массы и импульса, которые были использованы выше для вывода уравнений неразрывности и движения, при описании сплошной среды используется также и уравнение энергии. Уравнение энергии рассмотрим для частного случае адиабатического процесса, когда отсутствует теплообмен между элементами сплошной среды. В этом случае изменение внутренней энергии Е
элемента сплошной среды с массой (жидкой частицы) связано только с изменением его объема (при отсутствии объемных источников тепловыделения): 
. Вводя в рассмотрение энергию на единицу массы вещества , получим
Поскольку 
, то
.
В соответствии с уравнением неразрывности 
, поэтому
.
Данное уравнение описывает распределение объемной плотности внутренней энергии и его изменение, вызываемое деформацией и движением среды. Вместе с тем к изменению внутренней энергии могут приводить процессы, связанные с выделением или поглощением энергии, например при нагреве электрическим током или при химических реакциях. Для учета этих явлений модифицируем последнее уравнение добавлением в его правую часть слагаемого , имеющего размерность Вт/м 3 , описывающего скорость выделения или поглощения, в зависимости от знака, энергии в точках сплошной среды.
Таким образом, полная система уравнений динамики идеальной жидкости (газа) в адиабатическом режиме имеет вид
| (58) |
Последнее равенство есть уравнение состояния, замыкающее систему и определяющее конкретные физические свойства среды. Приведем примеры уравнения состояния:
1. Идеальный газ: , где - постоянная Больцмана, n - концентрация частиц в газе, M - масса частицы.
2. Несжимаемая жидкость: 
3. Вода при высоких давлениях , где , - давление и плотность при нормальных условиях.
Последний пример показывает, что для увеличения плотности воды на 20 % необходимо избыточное давление . Возвращаясь к уравнению энергии, получаем
,
где вместо взято произведение концентрации частиц на массу частицы. Частицы газа в общем случае имеют s
степеней свободы. На каждую степень свободы при термодинамическом равновесии приходится энергия 
. Тогда после подстановки выражения для внутренней энергии единицы массы идеального газа 
в уравнение энергии получим
,
, 
,
где и - постоянные. Последнему равенству можно придать вид 
, где - показатель адиабаты. Постоянную можно определить из начальных условий 
. В результате уравнение адиабаты получит вид
Уравнение баланса энергии в интегральной форме может быть получено из первого закона термодинамики и имеет вид
где первое слагаемое в скобках – кинетическая энергия движения жидкости, второе – потенциальная энергия положения, третье – энтальпия жидкости, Дж/кг;
Е п – полная энергия в контрольном объеме, Дж;
q – тепловой поток через контрольную поверхность, Вт;
l s – мощность на преодоление внешних сил, в основном трения, Вт;
u – скорость потока, м/с;
r – плотность среды, кг/м 3 ;
x – угол между нормалью и контрольной поверхностью;
g – ускорение силы тяжести, м/с 2 ;
z – геометрический напор, м;
h – удельная энтальпия, Дж/кг;
S – контрольная поверхность;
t – время, с.
Для химических процессов кинетическая и потенциальная энергии, а также мощность на преодоление внешних сил пренебрежимо малы по сравнению с энтальпией, поэтому можно записать
Это уравнение, по сути, является уравнением теплового баланса.
Для простого контрольного объема, ограниченного контрольными поверхностями, перпендикулярными вектору потока жидкости, интегрирование последнего уравнения дает
Первые два слагаемых в этом уравнении получены следующим образом. Если принять плотность постоянной, а cos(x )=±1, то
тогда 
Так как W
=rūS
, то получаем 
Если скорость незначительно меняется в обоих сечениях, а поток жидкости стационарен в гидродинамическом отношении, то уравнение баланса тепла можно записать следующим образом
Если система стационарна и в тепловом отношении, то:
Если в системе не происходит фазовых превращений и химических реакций, то можно от энтальпий перейти к теплоемкостям и тогда
Рассмотрим пример применения уравнений теплового баланса в нестационарных условиях.
Пример 9.1. Два резервуара объемом по 3 м 3 каждый заполнены водой при температуре 25 °С. Оба имеют мешалки, обеспечивающие практически полное перемешивание. В определенный момент времени в первый резервуар начинают подавать 9000 кг/ч воды при температуре 90 °С. Вода, выходящая из первого резервуара, поступает во второй. Определить температуру воды во втором резервуаре через 0,5 часа после начала подачи горячей воды. Резервуары считать теплоизолированными.
 |
| Рис. 9.1. К примеру 9.1 |
Решение: Составим схему тепловых потоков (рис. 9.1) и тепловой баланс для первого резервуара. При отсутствии теплообмена q =0 и при условиях
уравнение теплового баланса примет вид
откуда 9000(90-T 1 )d t=3·1000dT 1 , или
После интегрирования от 0 до t и от 25 °С до T 1 получим
T 1 =90-65exp(-3t).
Составим аналогичным образом тепловой баланс второй емкости
Для вывода уравнения изменения энергии какой-либо системы в самом общем виде рассмотрим изолированную систему (ИС), состоящую из рабочего тела (РТ) в цилиндре с подвижным поршнем, источника тепла (ИТ) и окружающей среды, включающей в себя приёмник работы ПР (гиря), поршень (П) и жидкую окружающей среду (ЖОС), например, атмосферу (рис. 2.1), и применим к ней закон сохранения энергии (ЗСЭ):
Е ИС = Е РТ + Е ИТ + Е ОС = const или dЕ РТ + dЕ ИТ + dЕ ОС = 0.
Перепишем последнее уравнение в виде
dЕ = dЕ РТ = - dЕ ИТ - dЕ ОС. (2.2)
Согласно ЗСЭ (2.2) приращение энергии РТ равно убыли энергий ИТ и ОС.
На практике правые части уравнения (2.2) принято рассчитывать не через параметры источника тепла и окружающей среды, а через параметры, характеризующие особенности протекания процессов на границе системы (РТ).
Процессы переноса движения от ИТ к РТ и от РТ к ОС, включающую в себя приёмник работы, имеют различные особенности. Подвод движения от ИТ к РТ происходит в результате взаимодействия молекул газа с молекулами стенок без их макроскопического перемещения, т. е. движение подводится в хаотической форме (ХФ). Процесс подвода движения в хаотической форме принято называть процессом теплообмена (теплообменом).
При взаимодействии молекул газа с подвижным поршнем возникает макроскопическое перемещение поршня, т. е. здесь движение передаётся в упорядоченной форме (УФ). Процесс переноса движения в упорядоченной форме принято называть процессом совершения работы (работой).
Рисунок 2.1 - К выводу уравнения первого закона термодинамики из ЗСЭ
Поскольку энергия (как физическая величина) является мерой движения как содержащегося в системе, так и переданного через границу системы, то, следовательно, мерами движения, переданного в процессах теплообмена (в ХФ) и совершения работы (в УФ), будут соответственно элементарные энергии Е передХФ и Е передУФ, которые принято называть соответственно теплотой Q и работой W":
Q = Е передХФ = - dЕ ИТ и W" = Е передУФ = - dЕ ОС.
С учётом принятых обозначений уравнение ПЗТ (2.2) запишется в виде Здесь для обозначения элементарности величин теплоты Q и работы W использован символ элементарности, а не символ полного дифференциала (полного приращения) d, так как эти величины (в отличие от изменения энергии системы dE) в общем случае не могут быть рассчитаны через параметры системы и, следовательно, должны обозначаться иным символом, чем d.
dЕ = dЕРТ = ЕпередХФ + ЕпередУФ = Q + W". (2.3)
Согласно этому балансовому уравнению энергии полное приращение (изменение) энергии системы равно сумме элементарных энергий, характеризующих движение, переданное через границу системы в процессах теплообмена (в ХФ) и совершения работы (в УФ) (при этом число тел, участвующих в процессах теплообмена и совершения работы, может быть любым).
Итак, теплота и работа - это энергии движения Движение, как уже отмечалось в сноске на странице 8, - это свойство материи, которое может передаваться не только за счёт переноса вещества (перемещения тел) в пространстве, но и при взаимодействии частиц на границах системы без макроскопического переноса вещества., переданного соответственно в процессах теплообмена и совершения работы (в связи с этим их иногда называют энергиями перехода, или энергиями в процессе перехода). Поэтому в качестве единицы До 1961 г., когда была введена Международная система единиц (СИ), в качестве единицы теплоты использовались калория (от лат. calor - тепло, жар) и килокалория, а работы - эрг и килограмм-метр. Потребовались значительные усилия многих учёных, чтобы доказать эквивалентность (сходство) величин “теплота” и “работа” и установить переводной коэффициент для единиц теплоты и работы - механический эквивалент теплоты, - равный 427 кгсм / ккал. До сих пор в литературе встречается единица теплоты килокалория, поэтому укажем связь между этой единицей и килоджоулем: 1 ккал = 4,1868 кДж. теплоты и работы используется единица энергии - джоуль: [Q] = [W] = [E] = 1 Дж.
Следует заметить, что физическая величина теплота используется не только для количественной характеристики движения, переданного в процессе теплообмена, но и для оценки количества диссипированного (то есть превращённого в хаотическое движение) упорядоченного макроскопического движения, что обусловлено необходимостью учёта роста энтропии в таких процессах. Следовательно, при диссипации упорядоченного движения теплота диссипации определяется так же, как и работа - через макроскопические силы и перемещения (например, работа трения)
Выбор знака теплоты и работы. Знак теплоты и работы зависит от направления переноса движения - к системе или от системы (РТ). В соответствии с балансовым уравнением энергии (2.3) знак теплоты и работы должен совпадать со знаком изменения энергии системы: при подводе движения к системе изменение энергии системы положительно, следовательно, и подводимые теплота и работа должны быть положительными величинами, а при отводе движения - отрицательными величинами.
Для теплоты это правило выполняется всегда: подводимая теплота положительна, отводимая отрицательна. Что же касается знака работы, то исторически её знак определялся не из балансового соотношения (2.3), которого тогда не было, а из соображений, что положительна для человека та работа, которую он получает от двигателя, т. е. отводимая работа.
Работу W", знак которой определяется из балансового соотношения (2.3) - по знаку приращения энергии системы, назовём внешней по знаку Здесь понятия внешней W" и внутренней W работ формируется в соответствии с направлением подвода движения, т. е по знаку (W = - W"). Если бы знак работы соответствовал знаку изменения энергии в соотношении (4.3), как для теплоты, то не надо было бы вводить деление на внешнюю и внутреннюю по знаку работы. Так, в учебнике Бэра Г. нет деления работ на внешние и внутренние - там все работы внешние: подводимая к системе работа считается положительной, а отводимая отрицательной. работой (внешней, так как она совершается за счёт убыли внешней энергии - энергии источников работы).
Работу W, знак которой совпадает со знаком убыли энергии системы, назовём внутренней по знаку работой (внутренней, так как она совершается за счёт убыли собственной, внутренней энергии).
Между внутренней и внешней по знаку работами существует очевидная связь:
Уравнение ПЗТ (2.3) для внутренней по знаку работы запишется в виде
Уравнение (2.7) является аналитическим выражением ПЗТ для закрытой термодинамической системы (без обмена веществом с ОС) в самом общем виде и читается так: теплота идёт на изменение энергии системы и на совершение работы. Впервые это уравнение получил Р. Клаузиус в 1850 г.
Внешняя и внутренняя (по месту расчёта) работа и теплота Чаще всего понятие внешней и внутренней работы определяется в соответствии с местом расчёта работы, т. е. в зависимости от выбора границ системы - внешней и внутренней. Внутренняя граница системы включает в себя только одно рабочее тело и совпадает с внутренними поверхностями поршня, крышки и гильзы цилиндра (пунктирная линия на рис. 2.1). Внешняя граница системы включает дополнительно тонкий слой материальной оболочки, охватывающей рабочее тело (штрихпунктирная линия на рис. 2.1).
Тонкий слой оболочки толщиной, соизмеримой с диаметром молекул стенки, обладает малым запасом ВЭ и поэтому влиянием его на изменение ВЭ системы можно пренебречь. Роль тонкого слоя заключается в преобразовании упорядоченного движения поршня в хаотическое (тепловое) движение молекул этого слоя. В результате такого преобразования внешняя (эффективная) работа, отводимая от системы рабочее тело - тонкий слой оболочки (на внешней границе), получается меньше внутренней (индикаторной) работы, совершаемой рабочим телом на внутренней границе системы, на работу трения поршня о гильзу цилиндра (см. рис. 2.1)
Упорядоченное движение поршня, диссипированное в хаотическое движение тонких слоёв поршня и стенки, в результате теплообмена далее отводится к рабочему телу и в окружающую среду. Если стенки адиабатные (например, керамические) или подвод тепла осуществляется с наружной стороны цилиндра (двигатели внешнего сгорания), то всё диссипированное движение (характеризуемое работой трения W тр) возвращается к РТ в виде хаотического движения (характеризуемого теплотой трения Q тр).
Теплота, подводимая на внешней границе системы от источников тепла (или спирали, расположенной внутри газа или внутри материала оболочки) или в результате сгорания топлива внутри рабочего тела, называется внешней теплотой
При сгорании топлива внутри рабочего тела внешняя теплота меньше выделившейся теплоты сгорания на потери тепла в стенки цилиндра
Q e = Q сгор - Q пот.стен. (2.10)
В результате подвода тепла трения рабочее тело получает на внутренней границе полную теплоту, равную сумме внешней теплоты и теплоты трения
В соответствии с выше изложенным уравнение ПЗТ (2.7) для внешней границы системы (для РТ плюс оболочка) запишется в виде
а для внутренней границы системы (для одного РТ) в виде
Если ввести понятие внешней по знаку эффективной работы (положительна при совершении работы над системой) , то уравнение ПЗТ (2.12) можно записать в виде
Каждая из этих эффективных работ может быть представлена в виде суммы различных работ, совершаемых на границе системы,
где N - число различных работ.
Закон сохранения энергии. Энергетический баланс. Энергия, работа, тепло. Внутренняя энергия, потенциальная энергия, кинетическая энергия.
Уравнение Бернулли для газа. Уравнение энтальпии. Адиабатное течение. Энергоизолированное течение. Изоэнтропное течение.
Энергоизолированное изоэнтропное течение.
Изучение основных уравнений и зависимостей , применяемых в газовой динамике , удобно провести сначала для элементарной струйки или одномерного потока , а затем распространить их на более сложные виды движения.
Большое значение в газовой динамике имеет закон сохранения энергии . Он, как известно, констатирует тот факт, что
энергия не возникает и не исчезает, а только превращается из одного вида в другой .
Следовательно, составив баланс энергии для какого-нибудь количества газа, например, для единицы массы , можно найти соотношение между различными составляющими энергии. Такая математическая запись энергетического баланса и представляет собой уравнение энергии .
Составление баланса энергии рассмотрим на примере газотурбинной установки , схема которой изображена на рисунке 6 .
Через входное сечение 1 воздух из атмосферы поступает в компрессор, где сжимается и подается в камеру сгорания. Туда же, в камеру сгорания, поступает жидкое топливо, которое, смешавшись с воздухом, сгорает, выделяя большое количество тепла . Таким образом, в турбину из камеры сгорания поступают образовавшиеся там продукты сгорания с высокой температурой и высоким давлением. В турбине они расширяются, производя работу - вращая ротор. Часть работы турбины при помощи вала передается на вращение компрессора, другая часть отдается потребителю. Отработанные газы покидают турбину, выходя через сечение 2.
Энергия поступающего воздуха, отнесенная к единице массы , обозначена Е 1 , энергия выходящего газа - Е 2 .
Подведенное тепло обозначено Q е. Индекс «е » означает, что тепло подводилосьизвне (externus – лат. внешний , посторонний ).
Здесь нет никакого противоречия: несмотря на то, что сгорание происходило внутри камеры и тепло, подогревающее газ, выделялось именно там, энергия эта была внесена снаружи в скрытом виде, вместе с топливом. Следовательно, поскольку не ставится задача изучения физико-химических процессов горения, а рассматриваются только явления газодинамического характера, то можно считать, что тепло в количестве Q е было внесено в камеру сгорания снаружи.
Работа на валу установки , отданная потребителю, обозначена L. Она также отнесена к единице массы проходящего через установку воздуха.
На рисунке 7 изображена упрощенная схема течения . На расчетном участке между сечениями 1 и 2 , так же как и в предыдущем случае, подводится тепло и отводится механическая работа . Следовательно, для упрощенной схемы баланс энергии будет таким же, как и для газотурбинной установки , но пользоваться этой схемой проще и удобнее.
Баланс энергии для рассматриваемой схемы течения можно записать следующим уравнением:
Е 1 - Е 2 + Q е - L = 0. (2.1)
Далее необходимо расшифровать, что подразумевается под полным запасом энергии единицы массы газа Е. При этом нужно иметь в виду, что в «полный запас энергии» нет надобности включать все ее составляющие (например, химическую, электрическую, внутриядерную); вполне достаточно принимать в расчет только те ее виды, которые могут превращаться один в другой в пределах изучаемых газодинамических задач. Тогда можно записать, что
E= u + p/ρ + w 2 /2 + gz, (2.2)
где u – внутренняя энергия единицы массы газа;
p/ρ – потенциальная энергия давления единицы массы газа;
w 2 /2 – кинетическая энергия единицы массы газа;
gz– потенциальная энергия положения (уровня) единицы массы газа;
z – геометрическая высота ;
g – ускорение силы тяжести .
Все указанные величины измеряются в единицах работы на единицу массы , а именно в дж/кг или, что то же самое, в м 2 /сек 2 (в системе СИ).
Подставив в уравнение (2.1) значения Е 1 и Е 2 , выраженные с помощью уравнения (2.2), и учитывая, что разность внутренних энергий u 1 – u 2 = C v (T 1 -Т 2) , получим
C v (T 1 -Т 2) +p 1 /ρ 1 -p 2 /ρ 2 +(w 1 2 - w 2 2)/2+g(z 1 -z 2) +Q е -L=0. (2.3)
Это и есть уравнение энергии для одномерного потока или для элементарной струйки . Оно показывает, как происходит изменение внутренней энергии C v (T 1 -Т 2) , потенциальной энергии давления p 1 /ρ 1 -p 2 /ρ 2 , кинетической энергии (w 1 2 - w 2 2)/2, потенциальной энергии положения g(z 1 -z 2) в результате действия подведенного извне тепла Q е и работы L , отданной газом внешнему потребителю. Изменение внутренней энергии связано с изменением температуры газа, кинетической энергии - с изменением скорости потока, потенциальной энергии уровня - с изменением высоты положения рассматриваемой массы газа над плоскостью, принятой за начало отсчета. Что касается изменения потенциальной энергии давления , то оно требует специальных разъяснений.
На рисунке 8 изображен расчетный участок потока, ограниченный на входе сечением 1 и на выходе - сечением 2.
При входе газа через сечение 1 силы внешнего давления р 1 F 1 , вталкивая в расчетный, участок объем газа F 1 Δx 1 , совершают работу p 1 F 1 Δx 1 .
При выходе из расчетного участка, через сечение 2 объем газа F 2 Δx 2 совершает работу против сил внешнего давления p 2 F 2 Δх 2 . Поделив эти работы на массу газа в соответствующих объемах, получим
L вт = p 1 F 1 Δx 1 / ρ 1 F 1 Δx 1 = p 1 /ρ 1 ,
L выт = p 2 F 2 Δx 2 / ρ 2 F 2 Δx 2 = p 2 /ρ 2.
Следовательно, p 1 /ρ 1 -p 2 /ρ 2 =L вт -L выт представляет собой разницу работ вталкивания и выталкивания единицы массы газа. Эта величина характеризует накопление (если p 1 /ρ 1 >p 2 /ρ 2 ) потенциальной энергии давления или расходование ее (если p 1 /ρ 1
) потоком газа, находящимся внутри расчетного участка.
Изменение потенциальной энергии уровня g(z 1 -z 2 ) в задачах, связанных с расчетом теплоэнергетических машин или установок, как правило, составляет пренебрежимо малую величину по сравнению с другими членами уравнения энергии. Оно обычно не превышает 50…100 м 2 /сек 2 , тогда как другие члены имеют порядок 10 000…100 000 м 2 /сек 2 . Поэтому во всех дальнейших рассуждениях и расчетах величина g(z 1 -z 2 ) будет отброшена. Однако, нужно обратить внимание на задачи такого рода, как расчет вентиляционных систем шахт, в которых изменение потенциальной энергии уровня весьма велико и может превышать значения других членов уравнения энергии. В этих случаях величина g(z 1 -z 2 ) должна учитываться обязательно.
Уравнению энергии можно придать другую, во многих случаях более удобную для расчетов форму . Преобразуем сумму членов
C v (T 1 -Т 2) +p 1 /ρ 1 -p 2 /ρ 2 = (C v T 1 +p 1 /ρ 1) -(C v T 2 +p 2 /ρ 2)=
=(C v T 1 +RT 1) -(C v T 2 + RT 2)= (C v +R)(T 1 -Т 2) = C p (T 1 -Т 2) ,
используя известное из термодинамики соотношение C p –C v =R , и подставим полученное выражение в уравнение (2.3). Тогда уравнение энергии можно записать более компактно
C p (T 1 -Т 2) + (w 1 2 - w 2 2)/2 + Q е - L = 0, (2.4)
а главное, три термодинамических параметра p, ρ и T теперь можно заменить всего лишь одним – энтальпией h=C р Т . («Три в одном»!)
(2.5)
Этот вид уравнения энергии называют еще уравнением энтальпии или теплосодержания , так как в него входит энтальпия h.
В уравнении энергии принято следующее правило знаков. Подведенное внешнее тепло считается положительным, а отведенное - отрицательным; работа, совершенная газом и отведенная к внешнему потребителю, - положительной, а подведенная к газу извне и затраченная на его сжатие - отрицательной. Таким образом, в нагревателе газа (камере сгорания) тепло считается положительным , в охладителе - отрицательным ; работа , получаемая в турбине , - положительной , а затрачиваемая на вращение компрессора - отрицательной . Это правило знаков согласуется с уравнением первого закона термодинамики .
Уравнение энергии часто применяется в дифференциальной форме . Чтобы получить его в этой форме, воспользуемся таким приемом. Будем мысленно приближать второе сечение к первому, уменьшая длину расчетного участка до бесконечно малой величины . Тогда в пределе получим вместо Q е и L соответственно dQ е и dL , авместо конечных разностейТ 1 –Т 2 и (w 1 2 - w 2 2)/2 получим соответствующие дифференциалы –dТ и – d(w 2 /2) .
В последних двух выражениях знак минус появился потому, что берутся бесконечно малые разности T 1 -Т 2 и (w 1 2 - w 2 2)/2 , а не T 2 -Т 1 и (w 2 2 - w 1 2)/2 .
Подставив это в уравнение энергии (2.4) и поменяв знаки на обратные , получим уравнение энергии в дифференциальной форме или дифференциальное уравнение энергии
(2.6)
Если сопоставить выражение для полного запаса энергии (2.2)
E= u + p/ρ + w 2 /2 + gz,
с левой частью уравнения Бернулли , которая также представляет величину полного запаса энергии единицы массы несжимаемой жидкости
p/ρ + w 2 /2 + gz = const,
то можно заметить, что в случае газа дополнительно введена величина внутренней энергии u. Это объясняется тем, что при ρ≠соnst тепловые процессы оказывают влияние на плотность газа, и так как его расширение или сжатие связано с работой, то в конечном итоге это влияние распространяется на механические составляющие энергии. Таким образом, в уравнениях энергии (2.4) и (2.5) присутствуют величины, имеющие как механическое , так и тепловое (калорическое) происхождение.
Еще одной разновидностью уравнения энергии является обобщенное уравнение Бернулли для газа . От уравнений (2.4) или (2.5) оно отличается тем, что все входящие в него слагаемые имеют механическое происхождение . Это уравнение можно получить следующим путем. Воспользуемся тем же самым приемом, с помощью которого выше было получено дифференциальное уравнение энергии (2.6) и представим уравнение (2.3) в дифференциальном виде :
(2.7)
Количество тепла Q , воспринимаемое газом , и количество теплаQ е , подводимое к нему извне , в общем случае не одинаковы : существует еще теплота тренияQ r , которая выделяется вследствие трения газа о стенки, внутреннего трения (возникающего между слоями, движущимися с разными скоростями), образования вихрей и т.п. Это тепло также воспринимается газом . Поэтому
Q = Q е + Q r = Q е + L r . (2.8)
dQ е = dQ – dL r , (2.9)
где L r - работа трения (в системе единиц СИ Q r =L r ).
Количество тепла, воспринимаемое газом , можно определить с помощью уравнения первого закона термодинамики
dQ = C v dT + pdv. (2.10)
Подставив это выражение в формулу (2.9), получим
C v dT = dQ e + dL r -pdv. (2.11)
Кроме того,
d(p/ρ)=d(pv)=pdv+vdp/. (2.12)
После подстановки формул (2.11) и (2.12) в уравнение энергии (2.7) и замены удельного объема через плотность v=1/ρ получаем уравнение Бернулли для газа в дифференциальной форме
dp/ρ+d(w 2 /2)+dL+dL r =0. (2.13)
При решении конкретных задач уравнение Бернулли интегрируют в пределах от начального сечения расчетного участка до конечного
(2.14)
Если в процессе решения нужно получить параметры потока в каком-нибудь промежуточном сечении расчетного участка, то при интегрировании это сечение принимается за конечное. При решении можно брать неопределенный интеграл. Константа интегрирования определяется тогда из граничных условий, в качестве которых обычно берут условия на входе в расчетный участок.
Для того чтобы вычислить ∫(dp/ρ) , надо знать зависимость между р и ρ , т.е. иметь уравнение термодинамического процесса, при котором происходит течение газа, например уравнение политропы p/ρ n =const . Если известен термодинамический процесс, то известен и показатель политропы. При политропном процессе интегрирование дает
при изотермном процессе (n=1 )
1 2 ∫(dp/ρ)=(p 1 /ρ 1)ℓn(p 2 /p 1)=RT 1 ℓn(p 2 /p 1). (2.16)
Сопоставляя между собой уравнение энергии и уравнение Бернулли , например (2.4) и (2.14), можно заметить, что первое учитывает внешнее тепло, но не содержит работы трения в явном виде, тогда как второе не содержит в явном виде внешнего тепла, но учитывает работу трения. Поэтому создается впечатление, что эти уравнения не учитывают всех особенностей течения. В действительности это не так. Хотя работа трения и не входит явно в уравнение энергии, но ее влияние сказывается, прежде всего, на температуре Т 2 .
Что касается уравнения Бернулли, то в нем внешнее тепло учитывается при вычислении ∫(dp/ρ) , а именно, от количества подведенного тепла зависит величина показателя политропы n .
Рассмотрим уравнения энергии для частных случаев течения газа .
Адиабатное ( или адиабатическое ) течение . Такое течение происходит без внешнего подвода или отвода тепла , т.е. Q е =0 . Относительно внутреннего теплоподвода (тепла трения Q r ) никаких оговорок не делается, т.е. оно либо присутствует, либо равно нулю. Уравнение энергии в этом случае имеет вид:
(2.17)
а уравнение Бернулли сохраняет форму (2.14)
1 2 ∫(dp/ρ)+(w 2 2 - w 1 2)/2 + L+ L r =0.
Уравнение (2.17) имеет большое значение в экспериментальной практике. Им пользуются, например, при экспериментальном определении работы турбины или компрессора, когда непосредственное определение мощности по крутящему моменту и числу оборотов затруднительно по техническим причинам. Для этого необходимо только измерить температуры и скорости газа на входе в машину и выходе из нее и произвести вычисление по формуле (2.17). Заметим, что практически дело обстоит еще проще. Измеряются не температуры газа и скорости раздельно, а температуры торможения .
Энергоизолированное течение . Такое течение происходит без внешнего теплообмена (Q е =0 ) и без подвода или отвода внешней механической работы (L=0 ), т.е. без обмена энергией с внешней средой на участке между входным и выходным сечением. Уравнение энергии для энергоизолированного течения записывается так:
(2.18)
C p T 1 + w 1 2 /2 = C p Т 2 + w 2 2 /2. (2.19)
Смысл последнего равенства состоит в том, что при энергоизолированном течении полный запас энергии единицы массы газа остается неизменным, так как на расчетном участке энергия извне не подводится и не отводится во внешнюю среду.
Уравнение Бернулли для этого вида течения приобретает вид:
1 2 ∫(dp/ρ)+(w 2 2 - w 1 2)/2 + L r =0. (2.20)
Моделью энергоизолированного потока пользуются при расчете диффузоров, неохлаждаемых сопел и других неподвижных каналов, в которых теплообмен с внешней средой пренебрежимо мал.
Изоэнтропное (или изоэнтропийное или изоэнтропическое ) течение . Такое течение происходит при постоянной энтропии S=соnst . Для постоянства энтропии необходимо выдержать условие Q=0 . Из формулы (2.8) следует, что это может быть при Q е =0,Q r =0 или при Q е = – Q r . Второй случай предусматривает теплоотвод во внешнюю среду, в точности равный теплоподводу от трения. Такой точный тепловой баланс редко может встречаться в практике, а потому здесь не рассматривается. Таким образом, можно считать, что течение будет изоэнтропным в том случае, если отсутствует трение и внешний теплообмен . Для этого вида течения уравнение энергии записывается так же, как и для адиабатного течения (см. формулу (2.17))
C p (T 1 -Т 2) + (w 1 2 - w 2 2)/2 - L = 0,
а уравнение Бернулли имеет вид:
1 2 ∫(dp/ρ)+(w 2 2 - w 1 2)/2 + L=0. (2.21)
При вычислении интеграла здесь нужно иметь в виду, что р и ρ связаны уравнением изоэнтропы p/ρ k =const . Моделью изоэнтропного потока пользуются при теоретических расчетах и исследованиях идеальных компрессоров и турбин.
Энергоизолированное изоэнтропное течение . Такое течение происходит без энергетического обмена с внешней средой (Qе=0, L=0 ) и без трения (Lr=Qr=0 ). При этом автоматически соблюдаются условия изоэнтропности (изоэнтропийности ) процесса. Уравнение энергии имеет тот же вид, что и для энергоизолированного течения (2.18) или (2.19)
C p (T 1 -Т 2) + (w 1 2 - w 2 2)/2 = 0,
C p T 1 + w 1 2 /2 = C p Т 2 + w 2 2 /2,
а уравнение Бернулли записывается так:
1 2 ∫(dp/ρ)+(w 2 2 - w 1 2)/2 =0. (2.22)
Здесь также при вычислении интеграла связь между давлением и плотностью устанавливается уравнением изоэнтропы . Этот частный случай применяется довольно широко. Например, в теоретической газодинамике большинство задач рассматривается в предположении именно такого вида течения .
В дифференциальной форме уравнения (2.18) и (2.22) имеют следующий вид:
C p dT + d(w 2 /2) = 0, (2.23)
dp/ρ + d(w 2 /2) = 0. (2.24)
Рассмотрим еще две весьма употребительных формы записи уравнения Бернулли для энергоизолированного изоэнтропного течения . Интегрируя уравнение (2.24), имеем
∫(dp/ρ) + w 2 /2 = const.
Используя уравнение изоэнтропы
p/ρ k = B = const,
и следующие очевидные соотношения
ρ k = (p/B); ρ = (p/B) 1/ k ; B 1/ k = (p/ρ k) 1/ k =p 1/ k /ρ;
найдем значение интеграла
∫(dp/ρ) =∫(dp/(p/B) 1/ k)= B 1/ k ∫(dp/p 1/ k)= B 1/ k ∫p -1/ k dp=
= B 1/k p (1-1/k) /(1-1/k)= p 1/k ∙ p (1-1/k) ∙ k/ρ∙(k-1) =
=(k/(k-1))(p 1/k ∙ p (k-1)/k /ρ) = (k/(k-1)) p/ρ.
и, подставив его в предыдущее уравнение, получим
(k/(k-1)) p/ρ + w 2 /2 = const. (2.25)
Если сопоставить уравнение (2.25) с уравнением Бернулли для горизонтального течения идеальной несжимаемой жидкости
p/ρ + w 2 /2 = const,
то можно заметить, что они отличаются только первым слагаемым: для газа коэффициент, стоящий перед p/ρ равен k/(k-1) тогда как для несжимаемой жидкости он равен 1 . Таким образом, величина k/(k-1) учитывает влияние сжимаемости .
Если воспользоваться соотношением, с помощью которого определяется скорость распространения звука a 2 = kRT= kp/ρ , и преобразовать первое слагаемое уравнения (2.25), то последнее приобретает вид:
a/(k-1) + w 2 /2 = const. (2.26)
Эта форма записи уравнения Бернулли широко применяется в теоретической газодинамике .
G p/ρ k =const. p/ρ = RT. a= √kRT. a 2 = kRT= kp/ρ.
Е 1 - Е 2 + Q е - L = 0. E= u + p/ρ + w 2 /2 + gz.
C v (T 1 -Т 2) +p 1 /ρ 1 -p 2 /ρ 2 +(w 1 2 - w 2 2)/2+g(z 1 -z 2) +Q е -L= 0.
C v dT + d(p/ρ) + d(w 2 /2) - dQ е + dL = 0.
C p (T 1 -Т 2) + (w 1 2 - w 2 2)/2 + Q е - L = 0.
h 1 -h 2 + (w 1 2 - w 2 2)/2 + Q е - L = 0.
C p dT + d(w 2 /2) - dQ е + dL = 0.
dp/ρ+d(w 2 /2)+dL+dL r =0.
(k/(k-1)) p/ρ + w 2 /2 = const. a/(k-1) + w 2 /2 = const.
p/ρ + w 2 /2 = const.
Баланс энергии можно составить для любой схемы течения. Пример с газотурбинной установкой взят потому, что в нем присутствуют все составляющие энергетического баланса, рассматриваемые в газодинамических задачах.
Необходимо заметить, что это уравнение было получено в наши дни. Имя Даниила Бернулли ему присвоено потому, что оно является обобщением известного в гидродинамике уравнения Бернулли на случай течения газа.
Берется неопределенный интеграл.
Уравнение движения можно использовать для описания взаимопревращения форм энергии текущей в данном месте жидкости .
где т - нормальное напряжение от сил трения в вязкой жидкости.
Составим уравнение, подобное по форме уравнению (2.49) раздела
2.7, но введем в него скалярную величину, обусловленную локальной скоростью со:
Это скалярное уравнение описывает скорость изменения кинетической энергии на единицу массы (со 1 1 2) для элемента жидкости, перемещающегося вниз по потоку.
Перепишем это уравнение в форме, более удобной для его дальнейшего исследования: представим субстанциальную производную в символах dldt путем использования уравнения сплошности (см. раздел 2.5); каждый из членов, описывающих действие давления и вязкости, разделим на два. Все члены в результирующем уравнении запишем для неподвижного элемента объема, через который протекает жидкость:
Левая часть уравнения представляет скорость возрастания кинетической энергии на единицу объема. Правая часть уравнения состоит из скоростей: подвода кинетической энергии посредством потока массы; производства работы давлением окружающей среды на объем элемента; обратимого превращения работы сил давления во внутреннюю энергию; производства работы вязкостными силами на объем элемента; необратимого превращения работы сил вязкого трения во внутреннюю энергию; производства работы гравитационными силами на объем элемента.
Физический смысл членов р(у со) и (r:V
Отметим, что член (-f:V
где i и j берут по величине х, у, z, т.е. i, j = х, у, z, а 6и - 1 для / = j и 5^ = 0 для i & j
где Ф 0 - диссипативная функция. Эта функция представляет собой количество теплоты, возникающей в потоке вязкой жидкости за счет необратимой работы сил внутреннего (вязкого) терния, и выражается через градиент скоростей.
Итак, член (г: V#) всегда положительный, а это значит, что во всех потоках жидкости происходит взаимопревращение механической энергии в тепловую и поэтому реальные процессы необратимы. При отсутствии члена (r:V
Явления, которые учитываются членом p(V
Явления, которые учитываются членом (f:V
Системы уравнений сплошности (2.38), движения (2.49) и состояния в форме р = р(р) используются для описания изометрических процессов в текущей жидкости. Если при изменении плотности и давления происходит изменение температуры (неизотермический процесс), то систему уравнений сплошности и движения следует дополнить уравнением состояния в форме F(p,p,T)= 0.
Для идеального газа уравнение состояния имеет вид
В основе уравнения переноса энергии лежит закон сохранения энергии. Рассмотрим неподвижный элемент объема, через который течет однородная жидкость. Запишем для жидкости, содержащейся внутри выделенного элемента объема в данный момент времени закон сохранения энергии:
В этом уравнении под кинетической энергией понимают энергию видимого движения жидкости (рсо 1 /2 на единицу объема). Под внутренней энергией жидкости понимается сумма внутренней кинетической энергии теплового движения молекул и внутренней потенциальной энергии взаимодействия между молекулами (внутренняя энергия жидкости зависит от ее локальной температуры и плотности). Потенциальная энергия потока не входит в это уравнение в явном виде, она включена в термин «работа». Напишем выражение для отдельных членов, входящих в уравнение
Скорость накопления внутренней и кинетической энергий элементов объемом AxAyAz (рис. 2.4):
где и - внутренняя энергия жидкости на единицу ее массы; со - локальная скорость жидкости.
Результирующая скорость прихода внутренней и кинетической энергий :
Скорость подвода энергии посредством теплопроводности равна
где q x ,q y ,q x - компоненты вектора плотности теплового потока q.
Работа, совершенная элементом объемом Л V против окружающей среды, состоит из двух частей: работы против объемных сил (гравитации); работы против поверхностных сил (давления и сил вязкости).
Напомним, что работа равна произведению силы на путь в направлении действия силы, тогда скорость производства работы равна произведению силы на скорость в направлении действия силы.
Скорость производства работы против трех компонентов гравитационной силы на единицу массы элемента:
Знак минус означает, что работа произведена против сил гравитации, т.е. со и g направлены в противоположные стороны.
Скорость производства работы против статического давления р,
приложенного к шести граням элемента AxAyAz:
Таким же образом найдем скорость производства работы против сил вязкости
Подставим полученные выражения в уравнение (2.56), разделив все члены полученного уравнения на AxAyAz и перейдя к пределу при Ах, Ау и Az, стремящихся к нулю, получим уравнение энергии :
Это уравнение может быть записано в более компактной векторно-тензорной форме:
В левой части уравнения - скорость приращения энергии на единицу объема. Правая часть уравнения состоит из скоростей: подвода энергии на единицу объема посредством конвекции; подвода энергии на единицу объема посредством теплопроводности; производства работы над жидкостью на единицу объема гравитационными силами; производства работы над жидкостью на единицу объема силами давления; производства работы над жидкостью на единицу объема силами вязкости.
Преобразуем уравнение энергии с помощью уравнений сплошности (раздел 2.5) и движения (раздел 2.7). Эту операцию произведем таким же образом, как это было сделано при переходе от формы уравнения движения (2.45) к форме (2.48) с помощью уравнения сплошности (2.38).
Произведем дифференцирование левой части уравнения (2.58), для этого перенесем туда конвективную составляющую скорости подвода энергии и после перегруппировки получим:
Первый член в левой части уравнения (2.59) представляет собой субстанциальную производную от (и + со 1 / 2); второй член равен нулю на основании уравнения сплошности (2.38).
Перепишем уравнение (2.59) с учетом сказанного:
Отметим, что полученные здесь две формы уравнения энергии (2.47) и (2.60) корреспондируются с двумя формами уравнения сплошности (2.39), (2.40) и двумя формами уравнения движения (2.47) и (2.49).
Уравнение (2.58) описывает энергетический обмен в жидкости с точки зрения неподвижного наблюдателя, а (2.60) описывает этот обмен, как его наблюдал бы исследователь, двигающийся вместе с потоком.
Уравнение (2.60) есть уравнение обмена, написанное для суммы энергий на единицу массы (и + со 2 / 2).
Уравнение переноса для одного из слагаемых этой суммы было получено ранее (2.53). Перепишем его в следующей форме:
Вычитая уравнение (2.61) из (2.60), получим уравнение обмена для внутренней энергии и в виде:
В левой части уравнения - скорость накопления внутренней энергии на единицу объема. Правая часть уравнения состоит из скоростей: подвода внутренней энергии посредством теплопроводности на единицу объема; возрастания внутренней энергии при обратимом сжатии на единицу объема; возрастания внутренней энергии за счет необратимой диссипации на единицу объема.
Уравнение (2.62) называют уравнением тепловой энергии или просто уравнением энергии.
Представим член pDu! Dt в форме pC v DT/Dt (C v - удельная теплоемкость при постоянном объеме); член V q в форме:
где q t =-ЛдТ/дх, q y - -ЛдТ / ду, q x = -ЛдТ /dz член (f: Vco) по уравнению (2.55).
С учетом этих дополнений уравнение (2.62) можно представить в следующей форме:
Большое значение имеют частные случаи уравнения (2.63). Например, для случая, когда коэффициент теплопроводности Л не зависит от температуры, координат и р - const(V 0), уравнение (2.63) примет вид:
для идеального сжимаемого газа
для твердого тела со- 0, поэтому
где а = Л/(р С v) ~ коэффициент температуропроводности; C v = С р - С С - теплоемкость твердого тела.
Или иначе
Это уравнение называют уравнением теплопроводности Фурье.
Для случая, когда температура не изменяется во времени, уравнение (2.64) имеет вид:
Последнее уравнение называют уравнением Лапласа.
